Bestimme das folgende Integral mittels Transformation auf Polarkoordinaten

Question

Guten Morgen!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d}(x, y) \), wobei die Fläche \( \mathcal{B} \) mittels Transformation \( \Psi \) auf Polarkoordinaten durch \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}:=\{(r, \phi) \mid 0 \leq \phi \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq \phi\} \) gegeben ist.

\( x=r \cos (\phi) \)
\( y=r \sin (\phi) \)
\( \psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l}x(r, \phi) \\ y(r, \phi)\end{array}\right) \)
\( \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \phi)}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}\cos (\phi) & -r \sin (\phi) \\ \sin (\phi) & r \cdot \cos (\phi)\end{array}\right) \)
\( =r \cos ^{2}(\phi)+r \cdot \sin ^{2}(\phi)=r \)
\( S_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d(x, y)=\int \limits_{B *} \frac{1}{r} \circ r \cdot d r d \phi \)
\( \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\phi} \frac{1}{r} \cdot r \cdot d r \cdot d \phi=\left.\int \limits_{0}^{2 \pi} r\right|_{0} ^{\phi} d \phi= \)
\( =\left.\varphi\right|_{0} ^{2 \pi} \cdot \phi= \)
\( =2 \pi • \phi \)

Problem/Ansatz:

Ich habe wieder mal einen Ansatz formuliert, aber kann der so stimmen? Habe ich hier einen Fehler eingebaut? Könnt ihr bitte mal einen Blick werfen und ggf. meine Fehler korrigieren?

Comments

Ist das hier tatsächlich der Bereich, über den du integrieren willst?

Will nur sicher gehen, bevor ich mir deine Rechnung mal durchschau :-).

Übrigens wäre es nett, wenn du nach dem Text-Scan erst einmal offensichtliche Fehler entfernst. Zum Beipsiel ist \(S_B\) wohl eher \(\int_{\mathcal B}\) gewesen. Wir möchten uns auf die Mathematik konzentrieren und nicht auf Texterkennungsfehler.

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Ups, sry, das habe ich gar nicht bemerkt. Aber ja, nächstest Mal kontrolliere ich genauer :)

Answer 1

Aloha :)

Dein Ergebnis muss falsch sein, weil es noch die Integrationsvariable \(\varphi\) enthält, obwohl du dafür Grenzen einsetzen sollst.

Du hast das Integral noch korrekt formuliert:$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^{\varphi}dr\,d\varphi$$Die obere Grenze vom \(r\)-Intervall hängt von \(\varphi\) ab.

Daher musst du zuerst über \(dr\) integrieren:$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left[r\right]_{r=0}^\varphi\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\varphi\,d\varphi=\left[\frac{\varphi^2}{2}\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2$$

Comments

Super, vielen vielen Dank für die Erklärung!

Ich darf nur dann die Reihenfolge der Integration vertauschen, wenn wir zwei Integrale haben, die jeweils konstante Grenzen haben, richtig?

Wie müsste die obere Grenze vom r-Intervall sein, damit die Integrationen vertauschbar sind? Müsste beispielsweise eine Zahl (z.B.1) stehen, damit die Reihenfolge der Integration egal ist?

Und von was muss die obere Grenze von phi Φ abhängen, damit sie nicht mehr konstant ist? Was muss statt 2π stehen, damit es kein Normalbereich mehr ist. Irgendetwas mit r?

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Du musst dir klar machen, was bei der Integration eigentlich genau passiert. In der Aufgabe hier lautet die Bedingung für die \(r\)-Koordinate:$$0\le r\le\varphi$$Damit das Integral über \(dr\) bestimmt werden kann, müssen die untere Grenze \(0\) und die obere Grenze \(\varphi\) fest sein. Die \(dr\)-Integration wird also für ein fest gewähltes \(\varphi\) durchgeführt.

Das Ergebnis der \(dr\)-Integration wird dann natürlich noch die Variable \(\varphi\) enthalten. Nun lässt du in der zweiten Integration die Variable \(\varphi\) über ihr Intervall \([0;2\pi]\) laufen und addierst so für jedes \(\varphi\) die in der \(dr\)-Integration erhaltenen Ergebnisse.

Du kannst immer nur über eine Varibale integrieren und musst alle anderen Variablen während dieser Integration fest halten. Wenn die Integrationsgrenzen von anderen Variablen abhängen, kannst du die Integrations-Reihenfolgen nicht direkt tauschen, sondern musst dafür immer auch die Integrations-Intervalle anpassen.

Wenn du z.B. eine Fläche in \((x;y)\)-Koordinaten berechnest, kannst du zeilenweise (also \(y\) festhalten und zuerst über \(x\) integrieren) oder spaltenweise (also \(x\) festhalten und zuerst über \(y\) integrieren) vorgehen. In beiden Fällen musst du dir die Integrationsgrenzen für die jeweilige \(y\)-Zeile bzw. für die jeweilige \(x\)-Spalte überlegen.

Um in der konkreten Aufgabe hier$$\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad r\in[0;\varphi]$$die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, machst du dir zunächst klar, dass man \(r\in[0;2\pi]\) wählen kann. Weiterhin muss aber gelten:$$0\le r\le\varphi\implies \varphi\ge r\stackrel{\varphi\le2\pi}{\implies}\varphi\in[r;2\pi]$$Das Integral lautet nun:$$I=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\varphi=r}^{2\pi}dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\left[\varphi\right]_{\varphi=r}^{2\pi}dr=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\left(2\pi-r\right)dr$$$$\phantom{I}=\left[2\pi r-\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{2\pi}=4\pi^2-\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2$$

Answer 2

Ich meine, dass das so ganz OK ist.

Answer 3

Die Variablentransformation ist dir gelungen.

Bei der Auswertung des Doppelintegrals gibt es aber ein Problem:

$$\begin{array}{rcl}  \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\phi}\;dr\;d\phi & = & \int_{\phi=0}^{2\pi}\left[r\right]_0^{\phi}\;d\phi \\ & = & \int_{\phi=0}^{2\pi} \color{blue}{\phi} \;d\color{blue}{\phi } \\ & = & \left[\frac{\phi^2}{2}\right]_0^{2\pi} \\ & = & \boxed{2\pi^2} \end{array}$$