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Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

Aufgabe:

Bestimme das Integral Bx2+y2 d(x,y) \int \limits_{\mathcal{B}} x^{2}+y^{2} \mathrm{~d}(x, y) , wobei B \mathcal{B} die Fläche der Einheitskreisscheibe im R2 \mathbb{R}^{2} ohne die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius 12 \frac{1}{2} ist. Durch Transformation auf Polarkoordinaten entspricht diese Fläche der Fläche Ψ(B) \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) mit B={(ρ,φ)12ρ1,0 \mathcal{B}^{*}=\left\{(\rho, \varphi) \mid \frac{1}{2} \leq \rho \leq 1,0 \leq\right. φ2π} \varphi \leq 2 \pi\}


Problem/Ansatz:

Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich hier vorgehen soll, da hier der Radius gegeben ist. Wie sieht hier die Rechnung aus? Könnte bitte jemand mit mir die Rechnung schrittweise durchgehen?

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Aloha :)

Den Orstvektor r\vec r zum Abtasten der Menge BB bzw. BB^\ast formulieren wir in Polarkoordinaten:r=(rcosφrsinφ);r[12;1]  ;  φ[0;2π];dxdy=rdrdφ\vec r=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in\left[\frac12;1\right]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphiDas führt uns zu folgender Rechnung:I=B(x2+y2)dxdy=r=121  φ=02πr2rdrdφ=r=121r3drφ=02πdφ=[r44]r=121[φ]φ=02πI=\int\limits_B(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int\limits_{r=\frac12}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=\frac12}^1r^3\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=\frac12}^1\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}I=(14164)2π=15642π=1532π\phantom I=\left(\frac14-\frac{1}{64}\right)\cdot2\pi=\frac{15}{64}\cdot2\pi=\frac{15}{32}\,\pi

Avatar von 152 k 🚀

Super, vielen vielen Dank für die Erklärung!

Ich hätte noch eine Frage: hast du hier eigenltich die Determinante ausgerechnet? Denn oben ist sie nicht zu sehen. Zwar kommt da wieder r heraus, aber ich frage sicherheitshalber. Das r kommt schon von der Determinante, oder? Also ingesamt dann r3*dr

Ja, das rr kommt von Determinante.

Der Wechsel der Koordinaten (x;y)(r;φ)(x;y)\to(r;\varphi) führt zu einer Verzerrung des Flächenelementes dxdydx\cdot dy von einem Rechteck zu einem Tortenstück drdφdr\cdot\,d\varphi. Dadurch ändert sich die Fläche dieses Flächenelemtents:dxdydrdφ=dxdrdxdφdydrdydφ=cosφrsinφsinφrcosφ=r\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\begin{vmatrix}\frac{dx}{dr} & \frac{dx}{d\varphi}\\[1ex]\frac{dy}{dr} & \frac{dy}{d\varphi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r

Das Flächenelement in Poloarkoordinaten und das Volumenelment in Kugelkoordinaten kommen sehr oft vor, daher braucht man die nicht immer explizit auszurechnen. Das ist quasi Allgemeinwissen:dxdy=rdrdφ;dxdydz=r2sinϑdrdϑdφdx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi

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