Aufgabe:Identiäten von Integralen zeigen
…
Problem/Ansatz:
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich verstehe zumal nicht was B1(0) bedeutet. Ich habe schon im Skript nachgeschaut und folgende Stellen gefunden. Bei der ersten Aufgabe hatte ich die Idee, dass in diesem Beispiel alpha=1 sein soll. Das Ergebniss was ich erhalte ergibt kein Sinn. Ich habe auch den Zweifel, dass ich mit der Bermkerung 2.99 bei der Aufgabe i) nicht arbeiten kann.
Bei der Aufgabe ii) will ich das machen, weiß aber nicht, was das X1 da soll. Ich finde da keinen richtigen Ansatz. Ich habe nur umgekehrt gedacht und bin zu dem Ergbniss gekommen, dass Alpha N^2+N sein soll. Wie mir das hilft weiß ich jedoch nicht genau...
Im Ahnhang die Aufgabenstellung. Die Bermekung 2.99 und nochmal die Definition von Wn-1. 
Text erkannt:
\( B=B_{1}|0| C R^{N} \)
(i) \( \int \limits_{B} x_{i} d x=0 \) für alle \( i=1, \ldots, N \).
(ii) \( \int \limits_{B} x_{1}^{2} d x=\frac{\omega_{N-1}}{N(N+2)} \).
Hinweis: Sie können dafür zum Beispiel Bemerkung \( 2.99 \) verwenden.
Text erkannt:
Bemerkung und Beispiel \( 2.99 \).
(a) Ist \( f \) eine nichtnegative Lebesgue-messbare Abbildung, so gelten die Formeln aus 2.95, \( 2.97 \) und \( 2.98 \) ohne weitere Voraussetzung.
(b) Sei \( B:=B_{1}(0) \subset \mathbb{R}^{N} \) die Einheitskugel und \( \alpha>-N \). Dann ist die Funktion \( x \mapsto|x|_{2}^{\alpha} 1_{B \backslash\{0\}}(x) \) radialsymmetrisch. Somit gilt gemäB 2.98:
\( \int \limits_{B}|x|^{\alpha} \mathrm{d} x=\omega_{N-1} \int \limits_{0}^{1} r^{\alpha+N-1} \mathrm{~d} r=\frac{\omega_{N-1}}{N+\alpha} . \)
Insbesondere gilt also mit \( \alpha=0 \) :
\( \lambda^{N}\left(B_{1}(0)\right)=\int \limits_{\mathbb{R}^{N}} 1_{B_{1}(0)}(x) \mathrm{d} x=\frac{\omega_{N-1}}{N}=\frac{2 \pi^{N / 2}}{N \Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}=\frac{\pi^{N / 2}}{\Gamma\left(\frac{N}{2}+1\right)} . \)
Text erkannt:
Satz \( 2.97 \) (Allgemeine Polarkoordinaten). Sei \( N \geq 2 \) und \( f \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \). Dann gilt
\( \begin{array}{l} \int \limits_{\mathbb{R}^{N}} f=\int \limits_{0}^{\infty} r^{N-1} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\int \limits_{0}^{\pi} \ldots \int \limits_{0}^{\pi}}_{(N-2)-m a l} f\left(P_{N}\left(r, \varphi, \theta_{1}, \ldots, \theta_{N-2}\right)\right) \times \\ \times \sin \theta_{1} \sin ^{2} \theta_{2} \ldots \sin ^{N-2} \theta_{N-2} \mathrm{~d} \theta_{1} \ldots \mathrm{d} \theta_{N-2} \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} r \end{array} \)
wobei \( P_{N} \) induktiv definiert ist durch \( P_{2}(r, \varphi)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) \) und
\( P_{N}\left(r, \varphi, \theta_{1}, \ldots, \theta_{N-2}\right)=\left(P_{N-1}\left(r, \varphi, \theta_{1}, \ldots, \theta_{N-3}\right) \sin \left(\theta_{N-2}\right), r \cos \left(\theta_{N-2}\right)\right) \quad \) für \( N>2 \).
Insbesondere gilt für \( f \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) :
\( \int \limits_{\mathbb{R}^{3}} f=\int \limits_{0}^{\infty} r^{2} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} f(r \cos (\varphi) \sin (\theta), r \sin (\varphi) \sin (\theta), r \cos (\theta)) \sin (\theta) \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r . \)
Korollar 2.98. Seif \( \in \mathcal{L}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \) eine radialsymmetrische Funktion, d.h. es gibt \( \tilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\tilde{f}\left(|x|_{2}\right) \) für alle \( x \in \mathbb{R}^{N} \). Dann gilt
\( \int \limits_{\mathbb{R}^{N}} f(x) \mathrm{d} x=\omega_{N-1} \int \limits_{0}^{\infty} r^{N-1} \tilde{f}(r) \mathrm{d} r, \)
mit
\( \omega_{N-1}:=2 \pi \underbrace{\int \limits_{0}^{\pi} \ldots \int \limits_{0}^{\pi}}_{(N-2)-\text { mal }} \sin \theta_{1} \sin ^{2} \theta_{2} \ldots \sin ^{N-2} \theta_{N-2} \mathrm{~d} \theta_{1} \ldots \mathrm{d} \theta_{N-2}=\frac{2 \pi^{N / 2}}{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)} . \)
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen..!
