Berechnen sie nach Transformation auf Polarkoordinaten: ∫ ∫ e^-(x^2+y^2) dx dy

Question

∞       ∞

   ∫      ∫      e^{- (x^2+y^2)} dxdy

-∞      -∞

kann mir jemand ansatzweise helfen .

Glg

Answer 1

durch die Transformation auf Polarkoordinaten erhältst du das Doppelintegral

$$ \int \limits_{0}^{2\pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-r^2}r dr d\varphi $$

Dieses kannst du dann wie üblich berechnen. Als Ergebnis kommt \( \pi \) raus.

Gruß

Comments

Das Resultat π stimmt. Wie genau kommst du auf den Faktor r im Integranden?

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Hi Lu,

generell hat ein Integral einer Funktion \( f(x,y) \) in Polarkoordinaten die Form:

$$ \int \int f(r,\varphi) r drd\varphi $$

Das \(r\)ist hierbei die Determinante der Jacobimatrix der Transformation die nach dem Transformationssatz teil des Integranden wird.

Die Grenzen müssen natürlich auch entsprechend der Transformation angepasst werden.

Gruß

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Alles klar. Besten Dank!

Nicht unbedingt fachmännisch ausgedrückt sind die dx dy kleine Rechtecke irgendwo in der Ebene und r dφ dr Ausschnitte aus einem Ring mit Radius r um den Koordinatenursprung, deren Fläche als Rechtecksfläche angenähert wird. Das hatte ich vergessen.

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kann mir jemand helfen dieses integral langsam auszurechnen?

e ^{ -r^2} davon das integral lautet √π * erf / 2  ist das richtig ?, wenn ja könnte mir das jemand langsam erklären 

Lg

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lianne: Beachte: Du hast "r * e^{-r^2} dr"  d"phi"

Substituiere u = -r^2.

Dann kommst du auf ein Integral KONSTANTE * e^{u} du

Das kannst du bestimmt selbst integrieren.

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muss ich  -r^2 nochmal ableiten damit ich dies dann in du einsetze??

integral von e^u ändert sich nicht . du = -2r  und für r setze ich dann die grenzen ein ??

LG

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Lianne: Wandle deine dr immer ausführlich in du um.

u = -r².

du/ dr = -2r

du = -2r * dr

oder 

du/(-2r) = dr.

Nun kannst du das 'dr' mit der linken Seite 'du/(-2r)' ersetzen und dann gleich 2r kürzen.

Wenn du r vor der Integration mit du nicht weg bekommst, klappt die Substitution nicht.