Berechnen sie nach Transformation auf Polarkoordinaten: ∫ ∫ e^-(x2+y2) dx dy

Question

∞       ∞

∫      ∫      e^{- (x2+y2)} dxdy

-∞      -∞

kann mir jemand ansatzweise helfen .

Glg

Answer 1

durch die Transformation auf Polarkoordinaten erhältst du das Doppelintegral

$$\int \limits_{0}^{2\pi} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-r^2}r dr d\varphi$$

Dieses kannst du dann wie üblich berechnen. Als Ergebnis kommt $\pi$ raus.

Gruß

Comments

Das Resultat π stimmt. Wie genau kommst du auf den Faktor r im Integranden?

---

Hi Lu,

generell hat ein Integral einer Funktion $f(x,y)$ in Polarkoordinaten die Form:

$$\int \int f(r,\varphi) r drd\varphi$$

Das $r$ist hierbei die Determinante der Jacobimatrix der Transformation die nach dem Transformationssatz teil des Integranden wird.

Die Grenzen müssen natürlich auch entsprechend der Transformation angepasst werden.

Gruß

---

Alles klar. Besten Dank!

Nicht unbedingt fachmännisch ausgedrückt sind die dx dy kleine Rechtecke irgendwo in der Ebene und r dφ dr Ausschnitte aus einem Ring mit Radius r um den Koordinatenursprung, deren Fläche als Rechtecksfläche angenähert wird. Das hatte ich vergessen.

---

kann mir jemand helfen dieses integral langsam auszurechnen?

e ^{-r^2} davon das integral lautet √π * erf / 2  ist das richtig ?, wenn ja könnte mir das jemand langsam erklären

Lg

---

lianne: Beachte: Du hast "r * e^{-r^2} dr"  d"phi"

Substituiere u = -r².

Dann kommst du auf ein Integral KONSTANTE * e^u du

Das kannst du bestimmt selbst integrieren.

---

muss ich  -r² nochmal ableiten damit ich dies dann in du einsetze??

integral von e^u ändert sich nicht . du = -2r  und für r setze ich dann die grenzen ein ??

LG

---

Lianne: Wandle deine dr immer ausführlich in du um.

u = -r².

du/ dr = -2r

du = -2r * dr

oder 

du/(-2r) = dr.

Nun kannst du das 'dr' mit der linken Seite 'du/(-2r)' ersetzen und dann gleich 2r kürzen.

Wenn du r vor der Integration mit du nicht weg bekommst, klappt die Substitution nicht.