f gleichmäßig stetig und beschränkt => e^f gleichmäßig stetig und beschränkt

Question

Ich weiß zur folgenden Behauptung keinen Ansatz, auch wenn mir die Definitionen der gleichmäßigen Stetigkeit und der Beschränktheit bekannt sind.

$$\text{Sei} \quad f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} \quad \text{gleichmäßig stetig und beschränkt. Zeigen Sie, dass dann auch} \ e^f \\ \text{gleichmäßig stetig und beschränkt ist.} $$

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Answer 1

Tipps: $$(1)\quad\left|e^{f(x)}-e^{f(y)}\right|=e^{f(y)}\left|e^{f(x)-f(y)}-1\right|,$$ $$(2)\quad|e^u-1|\le2|u|\quad\text{fuer}\quad|u|\le\frac{1}{2}.$$

Comments

schonmal Danke für die Antwort. Nur weiß ich echt nicht, wie ich mit (1) und (2) argumentieren soll, bzw. wie es mich zum Ziel führen wird.

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• Die Implikation "f beschraenkt ⇒ e^f beschraenkt" ist trivial. Dafuer brauchst Du weder (1) noch (2). Es reicht, dass die Exponentialfunktion monoton ist.

• Notiere ausfuehrlich, was es per Definition heisst:

(a) f ist gleichmaessig stetig.

(b) e^f ist beschraenkt.

(c) e^f ist gleichmaessig stetig.

Das haettest Du schon lange machen koennen. Es soll dann offensichtlich (c) aus (a) und (b) folgen. Finde raus, wie man das mit (1) und (2) bewerkstelligen kann. Im Wesentlichen musst Du bloss mit (2) die Ungleichung (1) verlaengern und dann sehen, was Du davon hast.

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Ansonsten hätte ich als meinen Ansatz folgendes:

Behauptung: f gleichmäßig stetig und beschränkt => ef gleichmäßig stetig und beschränkt.

$$\text{Sei} \quad f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} \quad \text{gleichmäßig stetig und beschränkt. Weil f gleichmäßig stetig ist, gilt:}\\\forall \epsilon >0 \ \exists \delta>0 \ \forall x,x_0 \in \mathbb{R}:|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.\\\text{Weil f auch beschränkt ist, gibt es eine Zahl}\ M \in \mathbb{R} \text{ so dass für alle}\ x \in \mathbb{ R} \ \text{gilt:}\ |f(x)|\leq M.$$

Beweis:

$$\text{Sei}\ \epsilon>0 \ \text{beliebig, aber fest. Setze}\ g(x):=e^{f(x)}.\ \text{Dann ist:}\\|g(x)-g(x_0)|=|e^{f(x)}-e^{f(x_0)}|=|e^{f(x_0)}\cdot(e^{f(x)-f(x_0)}-1)|\\\leq e^M\cdot|e^{f(x)-f(x_0)}-1|< e^M\cdot|e^\delta-1|=\epsilon\\\Leftrightarrow \ e^\delta-1=\frac{\epsilon}{e^M} \Leftrightarrow e^\delta=\frac{\epsilon}{e^M}+1 \Leftrightarrow \delta=ln(\frac{\epsilon}{e^M}+1).$$

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Zum Ende hin kann es offensichtlich nicht mehr stimmen. Eine Formel für \(\delta\) anzugeben, ist unmoeglich. Es wird nicht nur von \(\varepsilon\), sondern auch von \(f\) abhaengen. Und \(f\) ist gar nicht konkret gegeben. Siehe es so:

$$\left|e^{f(x)}-e^{f(y)}\right|=e^{f(y)}\left|e^{f(x)-f(y)}-1\right|\stackrel{(*)}{\le}2e^M|f(x)-f(y)|\stackrel{!}{<}\varepsilon.$$ Damit (*) durchgeht, sollte \(|f(x)-f(y)|\le1/2\) sein und für die letzte Ungleichung, die man gerne haette, muss \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon/(2e^M)\) sein. Begruende, dass man das haben kann, d.h es muss ein \(\delta>0\) existieren, sodass für \(|x-y|<\delta\) beide Ungleichungen stets gelten. Die Begruendung ergibt sich aus der Voraussetzung, dass \(f\) gleichmaessig stetig ist; eine Formel für \(\delta\) kann aber nicht bei rausspringen

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Die Begründung von (*) macht mir aber nicht deutlich, warum man mit einem mal in den Betragsstrichen f(x)-f(x-0) zu stehen hat, geschweige wo die 2 als Vorfaktor herkommt. Das mit M kann ich noch verstehen, da es ja die Schranke von f ist.

Dass das ganze dann kleiner Epsilon ist, sieht man ja dann, wenn man

|f(x)-f(x-0)|<epsilon/2e^M für |f(x)-f(x-0)| einsetzt, da sich dann 2e^M rauskürzt.

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Fuer (*) wird (2) benutzt.

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Und wie kommt man auf (2)???

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Folgt aus der Exponentialreihe zusammen mit geometrischer Reihe.