ƒ : ℝ → ℝ eine stetige Funktion, sd die Grenzwerte limx→±∞ ƒ(x) = a±∈ ℝ existieren. Zeige: ƒ ist gleichmäßig stetig.

Question

1)

Es sei ƒ : ℝ → ℝ eine stetige Funktion, so dass die Grenzwerte lim_x→±∞ ƒ(x) = a_±∈ ℝ existieren. Zeigen Sie, dass ƒ gleichmäßig stetig ist.

 

2)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion ƒ : ℝ → ℝ an, die stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Comments

2) Könnte f(x):= sin(1/x) für x≠0 und f(0): = 0 da passen?

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Ist SIN(1/x) überhaupt an der Stelle x = 0 stetig ? Ich meine nicht.

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Das stimmt natürlich. Meine ist nicht stetig in x=0. Was wenn ich dort eine Definitionslücke lasse? Aber deine Beispiele sind doch nicht beschränkt.

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Ist f(x) = x^2 nicht nach unten Beschränkt? Oder bedeutet Beschränkt das es immer eine obere und eine untere Schranke geben muss.

f(x) = 1/x hat allerdings keine Schranke.
f(x) = 1/x^2 aber schon.

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'Beschränkt' sollte schon in beide Richtungen gelten. Vgl. hier.

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Die Funktion

f(x) = SIN(x^2)

hätte sowohl eine obere als auch untere Schranke und ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig.

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Vielen lieben Dank Lu.

So habe ich heute Morgen schon gleich wieder was dazu gelernt :)

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Sehr schön. Das hat ja dann auch keine Definitionslücke.

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Man könnte auch folgendes nehmen:

\(f: \mathbb{R} \leftarrow \mathbb{R}, f(x) := \begin{cases} 0  &, \text{ falls }x=0 \\ x \sin \left(\frac{1}{x}\right) &,\text{ falls } 0<|x| \leq 1 \\ \sin(1) & \text{ sonst }\end{cases}\).

Answer 1

Lies dazu den Artikel

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit

1) eine Funktion mit dem Grenzwert a hat im Unendlichen eine Steigung die an Null herangeht hat irgendwo eine betragsmäßig maximale Steigung.

Wählen wir jetzt also zu ε = maximale Steigung ein δ = 1 dann gilt für alle |x1 - x2| < 1 das | f(x1) - f(x2) | < ε

2)

f(x) = sin(x^2)

ist eine beschränkte Funktion, die stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist. Die Ableitung

f'(x) = 2x * SIN(x)

ist nicht beschränkt.

Comments

nach deiner Argumentation wäre doch die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\left\{\begin{array}{lr}0, \text { falls }|x|<\sqrt[3]{\pi} & \text { einerseits gleichmäßig stetig nach }1) \text { mit } a=0 \\ \frac{1}{x} \cdot \sin \left(x^{3}\right), \text { sonst }\end{array}\right. \)
andererseits aber nicht gleichmäßig stetig nach 2), weil die Ableitung nicht beschränkt ist.

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Ja. Meine Erklärung zu 1) und auch zu 2) sind sehr unsauber :(

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Also bei der 2 müsste ich dann nachweisen warum die stetig ist, ne? Müsste ich noch hinkriegen. Und bei der 1 müsste ich die Formel dann anwenden.