Zeigen Sie, dass für alle x∈[−1,1] gilt: cos(arcsin(x)) = sin(arccos(x)) = sqrt(1−x^2)

Question

Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung für alle x∈[−1,1] gilt:

cos(arcsin(x)) = sin(arccos(x)) = sqrt(1−x^2)

Answer 1

Hi,

mal mathematisch-rechnerisch gezeigt:

Nehmen wir

\(\arcsin(x) = a\) mit \(a \in [-\pi/2, \pi/2]\), dann ergibt sich \(\sin(a) = x\) mit \(x \in [-1,1]\).

Nun ergibt sich aus dem trigonometrischen Pythagoras:

\(\cos(\arcsin(x)) = \cos(a) = \pm\sqrt{1-\sin^2(a)} = \pm\sqrt{1-x^2}\)

Das Minus können wir weglassen, da ja \(a\in[-\pi/2,\pi/2]\) und es ergibt sich \(\cos(a) = \sqrt{1-x^2}\).

 

Eine geometrische Veranschaulichung:

Es ist \(\cos(arcsin(x))\). Damit ist unser Winkel \(\alpha = \arcsin(x)\quad\to\quad \sin(\alpha) = \frac x1\) .

Unsere Gegenkathete hat also eine Länge von x und unsere Hypotenuse eine Länge von 1. Damit ergibt sich mit dem Pythagoras unsere Ankathete und führt zu:

\(\to\cos(\alpha) = \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}\)

 

Grüße