Sei \(g: [a, b]\to \mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases} \lim_{x\searrow a} f(x)&x=a\\f(x)&a \lt x \lt b \\ \lim_{x\nearrow b} f(x)&x=b \end{cases} \)
Dann ist \(g\) auf \([a, b]\) stetig und \([a, b]\) kompakt. Nach dem Satz von Heine ist \(g\) deshalb gleichmäßig stetig. Also ist \(f = g|_{(a,b)}\) gleichmäßig stetig.
