Sei φ : ℂ → ℂ, z →z, Betrachten im Vektorraum?

Question

Sei φ : ℂ → ℂ, z → $$\bar { z } .$$ Zeigen Sie:

a) Betrachtet man ℂ als ℝ-Vektorraum, so ist φ eine lineare Abbildung.

b) Betrachtet man ℂ als ℂ-Vektorraum, so ist φ keine lineare Abbildung.

Wie zeigt man das? Danke für eure Hilfe

Comments

Weißt du wie eine lineare Abbildung definiert ist?

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ich sag mal nein :D

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Ich würde mir von dir kein Haus bauen lassen :D

Answer 1

Sei φ : ℂ → ℂ, z →z_quer     ich schreib mal f statt phi

z¯.Zeigen Sie:

a) Betrachtet man ℂ als ℝ-Vektorraum, so ist φ eine lineare Abbildung.

sei z aus C und x aus R. dann muss bei linearer Abb  f(x*z) = x * f(z) sein und

f(x+y) = f(x) + f(y)  mit z=a+bi ist  f(z) = a -bi und du kannst beide Eigenschaften

zeigen.

b) Betrachtet man ℂ als ℂ-Vektorraum, so ist φ keine lineare Abbildung.

hier geht es bei f(x*z) = x * f(z)schief, denn

z.B  mit x=1+i   und z = 1 - i        ist         ja x*z=  2

alsof(x*y) = f(2) = 2 weil das konjugierte von 2 eben 2 ist.

aber wegen f(z)=1+i ist

x*f(z)  = (1+i)*(1+i) = 1 +2i +i^2  =  2i

und wegen 2 ungleich 2i ist es also nicht linear.