Sei V ein K-Vektorraum und φ : V → V ein eine lineare Abbildung mit φ ◦ φ = φ.

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V -> V und eine lineare Abbildung mit φ°φ= φ.

a) Beschreiben Sie alle Endomorphismen φ : V -> V mit φ°φ= φ, die nur den Eigenwert 0 besitzen.

b) Beschreiben Sie alle Endomorphismen φ : V -> V mit φ°φ= φ, die nur den Eigenwert 1 besitzen.

c) Geben Sie einen Vektorraum V und einen Endomorphismus φ : V -> V an, der die Eigenwerte 0 und 1 besitzt.

Answer 1

Offenbar ist \(\phi\) eine "Nullstelle" des Polynoms \(p=X^2-X=X(X-1)\).

Das Minimalpolynom von \(\phi\) ist dann ein Teiler von \(p\)

Als Minimalpolynome kommen demnach \(X\), \(X-1\) und \(p\) selbst in Frage.

Der erste Fall bedeutet: \(\phi=0\), also die Nullabbildung,

der zweite Fall: \(\phi=id_V\), also der identische Endomorphismus,

der bzgl.jeder Basis durch die Einheitsmatrix dargestellt wird.

Ein Beispiel für einen Endomorphismus mit Minimalpolynom \(=p\) ist

\(K^2\rightarrow K^2, \; (x,y)^T\mapsto (x,0)^T\)