Seien f, g: R→R zwei stetige Funktionen. Zeigen: x ∈(0,1) gibt mit f(x)= g(x). und x ∈[0,1] gibt mit f(x)= x.

Question

Seien f, g: R→R zwei stetige Funktionen.

1.)  Sei f(0) > g(0) und f(1) < g(1). Zeigen Sie, dass es ein x ∈(0,1) gibt mit f(x)= g(x).

2.)  Sei f([0,1])⊆[0,1]. Zeigen Sie, dass es ein x ∈[0,1] gibt mit f(x)= x.

Kann mir bitte wer bei den Aufgaben einen Lösungsweg vorgeben? Ich komme leider nicht mehr weiter.

Comments

Verwende den Nullstellensatz für stetige Funktionen.

Answer 1

Hi,

zu (1)

sei \( h(x) = f(x) - g(x) \) dann gilt
\( h(0) > 0 \) und \( h(1) < 0 \) Da die Funktionen \( f \) und \( g \) stetig sind ist auch die Funktion \( h \) stetig. Nach dem ZWS existiert also ein \( \xi \in (0,1) \) mit \( h(\xi) = 0 \), also gilt \( f(\xi) = g(\xi) \)

zu (2)
Auch hier definiere \( h(x) = f(x) - x \), dann gilt \( h(0) = f(0) \ge 0 \) und \( h(1) = f(1) - 1 \le 0 \).
Gilt \( h(0) = 0 \) oder \( h(1) = 0 \) folgt \( f(x) = x \) und falls nicht, existiert nach dem ZWS ein \( \xi \in (0,1) \) mit \( h(\xi) = f(\xi) - \xi = 0 \) was zu beweisen war.