Intervallschachtelung: Zeige R\Q liegt dicht in R.

Question

Aufgabe:

Seien x, y Elemente aus R mit x<y. Beweise, dass es z Elemente aus R \ Q mit x<z<y gibt. Mit anderen Worten: R\Q liegt dicht in R.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich jetzt am besten an die Aufgabe dran?

Ich habe mir halt gedacht, dass alle abgeschlossene Intervalle überabzählbar sind.

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Zahlen  brechen in der Dezimaldarstellung hinter dem Komma nicht ab. Vergleiche x und y in der ersten nicht übereinstimmenden Nachkommastelle. Dann findest du auch eine Zahl aus ℝ\ℚ dazwischen, und so beliebig viele.