(a) Sei \( p \in \mathbb{N} \) eine Primzahl, d.h. teilt \( p \) ein Produkt \( a b \), so teilt \( p \) auch (mindestens) einen der Faktoren, \( a \) oder \( b \).
Zeigen Sie: Es existiert kein \( q \in \mathbb{Q} \), das \( q^{2}=p \) erfüllt.
(b) Seien \( x, y \in \mathbb{R} \) beliebig. Zeigen Sie, dass \( (x+y)^{2} \geq 4 x y \).
(c) Sei \( a \in \mathbb{Q}, a \geq 1 \), fest gewählt. Wir definieren rekursiv eine Folge durch
\( \begin{aligned} x_{1} &:=a \\ x_{n+1} &:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{aligned} \)
(i) Zeigen Sie: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( x_{n} \geq x_{n+1} \) und \( x_{n} \geq 1 \).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der (b) dass \( x_{n}^{2} \geq a \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(ii) Zeigen Sie, dass \( \left[\frac{a}{x_{n}}, x_{n}\right] \) eine Intervallschachtelung ist.
Insbesondere konvergiert \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) also in \( \mathbb{R} \).
(iii) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) in Abhängigkeit von \( a \).
Liegt dieser Grenzwert für \( a=7 \) in \( \mathbb{Q} \) ? Für \( a=25 \) ?