Question

Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: Es existiert k ∈ Z mit
(p − 1)! = kp − 1

Problem/Ansatz:

Also, für p=5 ist k=5  , p=3 Ist k=2, p=2 ist k=1.

Wie verpackt man die Aufgabe schön formal?

Dankeschön!

Answer 1

(p − 1) ist für jedes p>2 gerade.

Die p-1 Faktoren des Produkts (p − 1)! lassen sich also beliebig zu (p-1)/2 Paaren von Faktoren anordnen.

Wie wäre es denn, wenn wir jeweils einen beliebigen Faktor und sein multiplikatives Inverses mod p zu einem Paar zusammenfassen? Wir würden lauter Paare bekommen, deren Produkt kongruent zu 1 mod p ist, und das Produkt all dieser Paarprodukte...

Dazu müsste natürlich auch jede Zahl von 1 bis p-1 ein multiplikatives Inverses mod p besitzen. Dummerweise ist 1 zu sich selbst invers, hat also keinen anderen inversen Partner. Aber vielleicht gibt es noch weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft...

Comments

Mit dem, was Sie gesagt haben folgt, dass (p-1)! ≡ p-1 mod p ≡-1 mod p

woraus dann folgt, dass dieses k unweigerlich existieren muss,

da kp-1 mod p ≡ -1 mod p. Also könnte ich wilson's Satz beweisen, müsste aber vorher irgenwie die Äquivalenz dieser Aussage mit der dem Satz linken oder kann ich das als klar abtun, da kp-1 mod p≡-1 mod p sein muss?