Zeigen Sie: Es existiert kein q ∈ ℚ, das q^{2} = p erfüllt. (Primzahl, Intervallschachtelung)

Question

(a) Sei \( p \in \mathbb{N} \) eine Primzahl, d.h. teilt \( p \) ein Produkt \( a b \), so teilt \( p \) auch (mindestens) einen der Faktoren, \( a \) oder \( b \).

Zeigen Sie: Es existiert kein \( q \in \mathbb{Q} \), das \( q^{2}=p \) erfüllt.

(b) Seien \( x, y \in \mathbb{R} \) beliebig. Zeigen Sie, dass \( (x+y)^{2} \geq 4 x y \).

(c) Sei \( a \in \mathbb{Q}, a \geq 1 \), fest gewählt. Wir definieren rekursiv eine Folge durch

\( \begin{aligned} x_{1} &:=a \\ x_{n+1} &:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{aligned} \)

(i) Zeigen Sie: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( x_{n} \geq x_{n+1} \) und \( x_{n} \geq 1 \).

Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der (b) dass \( x_{n}^{2} \geq a \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(ii) Zeigen Sie, dass \( \left[\frac{a}{x_{n}}, x_{n}\right] \) eine Intervallschachtelung ist.

Insbesondere konvergiert \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) also in \( \mathbb{R} \).

(iii) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) in Abhängigkeit von \( a \).

Liegt dieser Grenzwert für \( a=7 \) in \( \mathbb{Q} \) ? Für \( a=25 \) ?

Answer 1

a) Sei q aus Q mit q^2 = p, dann gibt es teilerfremde a,b aus Z mit q = a/b
da q rational ist und vollständig gekürzt werden kann.

dann q^2 = a^2 / b^2 = p
also       a^2 = p*b^2     #
Die rechte Seite ist durch p teilbar, also auch die linke.
und da p Primzahl ist, und a*a teilt,
ist es ( siehe Def. in der Aufgabe) auch Teiler von a.
Also a = k*p also a^2=k^2 * p^2 in # eingesetzt gibt
           k^2 * p^2 =p* b^2    |:p
           k^2 * p^= b^2  
Jetzt ist offenbar die linke Seite durch p teilbar, alsi auch
die rechte und damit auch b durch p teilbar also
p ein gemeinsamer Teiler von a und b. Im
Widerspruch zur Annahme a und b wären teilerfremd.


b)   (x+y)^2 ≥ 4xy
   x^2 + 2xy + y^2 ≥ 4xy   | -4xy
x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0
(x-y)^2 ≥ 0  ist sicher wahr, da Quadrate nie negativ.

zu c) (i) ist für x1 erfüllt und mit der Rek. hast du

x_n+1² = ( 1/4)  *   ( xn + a/xn)^2   wegen b) also:

          ≥ ( 1/4)  *  4 *  xn * a/xn   = a

(ii) folgt sofort mit Def. der Int.schacht.

(iii) Durch die Rekursion hast du ja, weil sowohl x_n als auch x_n+1 gegen

den gleichen Grenzwert g konvergieren:

g = 0,5 * (g + a/g)   = o,5g +  0,5a/g

0,5g =  o,5a/g

    g = a/g

g^2 = a

also g=√(a)

Comments

Also a und b konnte ich gut nachvollziehen, vielen Dank schon einmal.

Die c verstehe ich allerdings überhaupt nicht :(

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bei c) (i) prüfst du erst mal, ob es für n=1 gilt.

Da ist x1 = a und weil a≥1 gegeben war, stimmt es.

und der gegebene Tipp sagt ja, erst mal xn^2 ≥ a nachweisen.

Für größere Werte von n gilt ja die Rekursionsgleichung:

x_n+1² = ( 0,5*(xn + a/xn) )^2

= 0,25  *(xn + a/xn) )^2

jetzt wendest du b) an und zwar mit x=xn und y= a/xn

dann gilt wegen b) weiter:

≥ 0,25  *  4 *  xn * a/xn   = a

also wie gewünscht  x_n+1²       ≥  a

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Soweit kann ich es nachvollziehen.

Allerdings kommt bei mir, wenn ich n=1  einsetze nicht das selbe raus.

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Das mit der Intervallschachtelung verstehe ich nicht.

zu (iii)

Liegt dieser Grenzwert für a=7 in Q? Für a=25?

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g ist √(a) , also für a=7 nicht in Q wohl aber für 25