Pythagoras an Kreisen

Question

Aufgabe:

…An einem Kreis sind von einem Punkt T aus die beiden Tangenten gezogen. Die Tangenten berühren den Kreis in den zwei Punkten P und Q. Die Berührsehne s ist 8cm lang. Ferner ist |PT|=|QT|=20cm.

Berechne den Kreisradius r.

Problem/Ansatz:

Komme überhaupt nicht weiter

Answer 1

Skizze ist immer gut:

Dort siehst Du das grüne rechtwinklige Dreieck \(\triangle TSP\). \(S\) sei der Mittelpunkt der Sehne \(PQ\). Dann ist nach Pythagoras: $$|TP|^2 = |TS|^2 + |SP|^2 \\ \space\implies |TS| = \sqrt{|TP|^2 - |SP|^2} = \sqrt{20^2-4^2}\text{cm}=8\sqrt{6}\, \text{cm}$$ Nun ist das grüne Dreieck ähnlich zum gelben Dreieck \(\triangle SMP\), da beide Dreiecke gleiche Winkel haben. D.h. dass die Verhältnisse der Seiten zueinander ebenfalls identisch sind. Es muss also gelten $$\frac{|PM|}{|SP|} = \frac{|TP|}{|TS|} $$ und daraus folgt der Radius \(r=|PM|\) des Kreises $$ \space \implies |PM| = r = |SP| \cdot \frac{|TP|}{|TS|} = 4\text{cm} \cdot \frac{20}{8 \sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}\text{cm} \approx 4,08 \text{cm}$$ Gruß Werner

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Vielen vielen Dank

Answer 2

Hallo

 mit einer Skizze und dem Wissen, dass der Radius senkrecht auf der Tangente steht hast du 3 rechtwinklige Dreiecke, TPM M 0 Mittelpunkt

 TPS  S mittelpunkt der Sehne und PSM in 2 davon kommt vor.

Gruß lul

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Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich die Skizze machen soll

Ich meine es gibt doch so viele Verschiedene Varianten oder?

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wie ich die Skizze machen soll

1. Zeichen eine Strecke der Länge 8cm. Beschrifte die Enden mit P und Q.
2. Zeichne um P einen Kreis mit Radius 20cm.
3. Zeichne um Q einen Kreis mit Radius 20cm.
4. Beschrifte einen Schnittpunkt der Kreise mit T.
5. Zeichne die Strecken PT und QT ein.
6. Zeichne eine Gerade, die durch P verläuft und senkrecht zu PT ist.
7. Zeichne eine Gerade, die durch Q verläuft und senkrecht zu QT ist.
8. Beschrifte den Schnittpunkt der Geraden mit M.
9. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M durch P.
   

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Hallo nochmal jetzt habe ich die Skizze und die Dreiecke aber wie komme ich jetzt auf den Radius?

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Geht das auch ohne Gleichungssystem?

Answer 3

Sei r der Radius des Kreises.

Sei M der Mittelpunkt des Kreises.

Sei S der Schnittpunkt der Strecke TM mit der Strecke PQ.

Das Dreieck TPM ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei P (das ist eine Eigenschaft von Tangenten). Also gilt

       |PT|² + |MP|² = |MT|².

Wegen |MP| = r und |PT| = 20cm gilt somit

(1)        (20cm)² + r² = |MT|².

Die Strecke Das Dreieck TPS ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei S (das ist eine eigenschaft von Sehnen). Also gilt

        |ST|² + |PS|² = |PT|².

Weil das Dreieck PQT gleichschenlig ist, ist |PS| = |QS| und somit |PS| = ½|QS| = 4cm. Einsetzen liefert zusammen mit |PT| = 20cm die Gleichung

(2)        |ST|² + (4cm)² = (20cm)².

Das Dreieck MPS ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei S. Also gilt

        |PS|² + |MS|² = |MP|².

Einsetzen von |MP| = r und |PS| = 4cm liefert

(3)        (4cm)² + |MS|² = r².

Außerdem gilt

(4)        |MT| = |MS| + |ST|.

Die Gleichungen (1), (2), (3), (4) bilden ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten. Löse es.

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Danke vielmals