Berührungspunkt von zwei Kreisen berechnen?

Question

Die Kreise k₁: x²+y²+4x-14y+13=0 und k₁:  x² + y² +10x +4y +19=0 berühren einander im Punkt T.
Ich soll die Koordinaten dieses Punktes berechnen.

Ich habe k₁-k₂ gerechnet. Dabei kam raus: -6x -18y -6=0. Zum Substituieren habe ich dann aus dem den Term x=-3y-1 in k₁ eingesetzt. Dabei kam am Ende raus: 9y² -20y +14=0, damit ich dann die pq-Formel anwenden kann, noch durch 9 aber da kommt natürlich nichts Gescheites raus. Allerdings weiß ich auch nicht wo der Fehler liegt

BIn dankbar für eure Hilfe!

Comments

Dabei kam am Ende raus: 9y² -20y +14=0

Das ist falsch, also hast du wohl vorher einen Fehler drin.

Ich habe \(y^2-2y+1=0\) und diese Gleichung hat auch offensichtlich nur eine Lösung, was auch dem vorgelegten Problem entspricht.

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ok, habe den fehler gefunden

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Siehe meine Antwort unten.

Answer 1

\(k₁-k₂=-6x -18y -6=0\)

Die Gerade durch die beiden Mittelpunkte der Kreise schneidet \(k₁-k₂=-6x -18y -6=0\)  im gesuchten Punkt T.

Answer 2

Wenn es mit Deinem Ansatz nicht klappt, kann man schreiben

k₁ : (x + 2)² + (y - 7)² = 40

k₂ : (x + 5)² + (y + 2)² = 10

und dann

\( \overrightarrow{OT} = \begin{pmatrix} -2\\7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3\\-9 \end{pmatrix} \quad \land \quad \underbrace{\sqrt{40} = r \cdot \sqrt{3^2+9^2}}_{r \; = \;2/3} \)

Answer 3

k₁: x²+y²+4x-14y+13=0

und

x=-3y-1

liefern

\((-3y-1)^2+y^2+4(-3y-1)-14y+13=0\)

\(9y^2+6y+1+y^2-12y-4-14y+13=0\)

\(10y^2-20y+10=0\).

Schau also nochmal, wo du dich verrechnet hast. Möglicherweise hast du Terme übersehen oder dich bei der binomischen Formel vertan.

Comments

dankeschön, habe jetzt den fehler gefunden

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Solche Rechnungen werden weniger fehleranfällig, wenn man gleich \((-3x-1)^2=(3x+1)^2\) benutzt.