Textaufgabe: Archölogen mit Damm und Wall, Funktionsschar

Question

Aufgabe:

Archäologen untersuchen die Reste eines etwa 70 m langen und 10 m hohen Walls.
Graph der Funktionenschar f mit fk(x) = 8k^2xe-2x^2-k. Mit wachsendem k bewegt man sich in Längsrichtung des Damms, im oberen Bild also auf den Betrachter zu. Eine Längen-einheit steht für 10 m.
a) Diskutieren Sie für allgemeines k > 0 die Funk-tionenscharf, in Bezug auf Nullstellen, Verhalten für x -* ∞, Extrem- und Wendepunkte.
Beschränken Sie sich auf 0<x<2.

b) Skizzieren Sie die Graphen von f, und fç in ein Koordinatensystem mit 0 ≤ x ≤ 2. Berechnen Sie dazu auch f, (2) und f, (2).
c) Hk(2/4|4k^2*e^-k-1/2) ist der Hochpunkt des Graphen von fk. Berechnen Sie, für welches k man die höchste Stelle des Walles erhält, und geben Sie an, wie hoch der Wall hier ist.
d) Betrachten Sie jetzt die Funktion f: Der Wall fällt nach rechts ziemlich flach ab. Man vermu-tet, dass seine rechte Teilfläche im Original-zustand ein Trapez bildete mit einer oberen Breite von 5 m, in unserem Maßstab also 0,5 LE (unteres Bild). Das Material, welches oben weg-gebrochen ist, müsste dann die Abflachung am Fuße des Walls bilden. Insgesamt müsste das Trapez den gleichen Flächeninhalt haben wie die jetzige rechte Profilhälfte (bis x = 2).
Prüfen Sie diese Vermutung, indem Sie die Koordinaten des Punktes F berechnen. Nehmen
Sie kurz Stellung.

Problem/Ansatz:

Bitte hilft mir, ich verstehe nichts! Also ich weiß zwar wie man bullstellen berechnet aber da kommt Heimniederlage 0 raus.

Bei Aufgabe d) und c) bin ich voll verwirrt? ps danke im voraus

Comments

Kontrolliere mal deine Funktion!

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Hattest recht. Ist anders. Die Funktion lautet:

fk(x)=8k^2*x*e^-2x2-k

Answer 1

Hallo,

zu c)

Du sollst den höchsten y-Wert des Hochpunktes berechnen, also von \(4k^2e^{-k-0,5}\).

Bilde davon die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach k auf.

[spoiler]

Wende beispielsweise die Produktregel an.

\(f(x)=u(x)\cdot v(x)\\ f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\)

\(u=4k^2\quad u'=8k\\ v=e^{-k-0,5}\quad v'=-e^{-k-0,5}\\ f'(x)=8k\cdot e^{-k-0,5}+4k^2\cdot (-e^{-k-0,5})=(-4k^2+8k)\cdot e^{-k-0,5}\)

Wende den Satz vom Nullprodukt an, dann brauchst du nur noch den ersten Faktor = 0 setzen, denn e hoch irgendwas kann nie null werden.

Ich komme auf k = 2

[/spoiler]

Gruß, Silvia

zu d) wäre es hilfreich, du würdest das "untere Bild" einstellen.

Comments

Hier bitte sehr!

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Der Flächeninhalt von f₂ von 0 bis 2 beträgt 1,08 FE.

Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes komme ich auf x = 1,65.

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In der Lösung steht aber was anderes und du musst das Flächeninhakt von 2 bis 0,5 machend

Answer 2

a)

Funktion und Ableitungen
f(x) = 8·k^2·x·e^(- 2·x^2 - k)
f'(x) = 8·k^2·e^(- 2·x^2 - k)·(1 - 4·x^2)
f''(x) = 32·k^2·e^(- 2·x^2 - k)·(4·x^3 - 3·x)

Symmetrie
f(- x) = - f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung

Verhalten im Unendlichen
lim (x → ∞) f(x) = 0+

Nullstellen f(x) = 0
8·k^2·x·e^(- 2·x^2 - k) = 0 → Nach dem Satz vom Nullprodukt ist x = 0

Extrempunkte f'(x) = 0
8·k^2·e^(- 2·x^2 - k)·(1 - 4·x^2) = 0
1 - 4·x^2 = 0 → x = ± 1/2
f(1/2) = 4·k^2·e^(-k - 1/2) → HP(1/2 | 4·k^2·e^(-k - 1/2))

Wendepunkte f''(x) = 0
4·x^3 - 3·x = 0 → x = 0 ∨ x = ± √3/2
f(0) = 0 → W(0 | 0)
f(√3/2) = 4·√3·k^2·e^(-k - 3/2) → WP(√3/2 | 4·√3·k^2·e^(-k - 3/2))

Comments

Das hat mit der Frage aber nichts zzu tun?

lul

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Ich lese folgendes

Bitte hilft mir, ich verstehe nichts! Also ich weiß zwar wie man bullstellen berechnet aber da kommt Heimniederlage 0 raus.

und interpretiere das überall Schwierigkeiten sind. Vielleicht liest und interpretierst du es anders.

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Sorry für mein Gemecker, ich hatte grade nur die andere Frage, die nur nach c und d fragte im Kopf, also bitte entschuldige!

Danke lul