Bestimme die variable so dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Was macht man da?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4:
Bestimme \( u \) so, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Wie lautet dann diese Lösung?
(a) \( \frac{4}{x}+u \cdot x=6 \)
(b) \( \frac{u}{x+3}+2 u=x-1 \)

Problem/Ansatz:

Hilfe bei dieser Aufgabe

Answer 1

zu a) Wähle \(u=0\), dann folgt \(x=\dfrac{2}{3}\) als einzige Lösung.

Comments

Wie kommen sie darauf

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Gute Frage! Das ist mir so eingefallen.

Als nachträgliche Begründung könnte ich anführen: Multipliziert man die angegebene Gleichung mit \(x\), so führt dies auf eine quadratische Gleichung und man muss die Anzahl ihrer Lösungen (0, 1 oder 2) mit geeignen \(u\) trimmen, um genau eine Lösung zu bekommen.

Mit der Wahl von \(u=0\) bekommen wir jedoch nach Multiplikation von \(x\) eine lineare Gleichung mit einer eindeutigen Lösung.

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Wie ist der Rechenweg

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Wurde doch erklärt. Schreib es halt mal auf.

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Könnte man nicht auch z.B. u = 2 einsetzten dann hat man doch auch nur ein Ergebnis von x = 2,1 oder bin ich komplet lost?

Answer 2

Bei (a) habe ich folgendermaßen gerechnet:

\( \frac{4}{x} + ux = 6 \) | Beide Seiten mit x multiplizieren

\( \Leftrightarrow 4 + ux^2 = 6x \) | alles auf eine Seite bringen

\( \Leftrightarrow ux^2 - 6x + 4 = 0 \) | Mitternachtsformel

\( x_1, x_2 = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4u \cdot 4}}{2u}\)

\( x_1, x_2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16u}}{2u}\).

Also ist \(x_1 = x_2\) genau dann, wenn das Innere der Wurzel 0 ist:

\(36 = 16u\), also \( u = \frac{9}{4} \).

Die zweite mögliche Lösung ist wie oben angemerkt u = 0.

Bei (b) kannst du analog arbeiten, nur stattdessen im ersten Schritt mit \( x+3 \) multiplizieren.