Wie lautetet die zugehörige Funktionsgleichung?

Question

Aufgabe:

Frau Wan hat Geld angelegt.
Nach 5 Jahren hat sie 1324,90 € nach 7 Jahren hat sie
1378,42 € auf dem Konto.
1) Wie lautetet die zugehörige Funktionsgleichung?
2.) Wieviel Geld hatte sie zu Beginn auf ihrem Konto und was ist die Zinsrate
3) Wann hat sich das Geld verdoppelt

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe mithilfe einer Exponentialfunktion lösen soll. Die Gleichungen wären schon hilfreich.

Comments

Frau Wan hat Geld angelegt.
Nach 5 Jahren hat er 1324,90 €
1378,42 € auf dem Konto.

Hier stimmt etwas nicht.

a) Frau Wan ist eine Sie

b) Die beiden Zahlen machen so keinen Sinn.

Worauf beziehen sie sich? Wann hat sie wieviel auf dem Konto? Wie hängeb sie zusammen?

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Entschuldigung, ich habe die Aufgabe entsprechend geändert

Answer 1

Text erkannt:

Um die Funktionsgleichung zu erstellen, verwenden wir die gegebenen Werte nach 5 Jahren:
\( 1378,42=a \cdot(1+r)^{5} \)

Um \( a \) und \( r \) zu finden, teilen Sie die Gleichungen:
\( \frac{1378,42}{1324,90}=\left(\frac{1+r}{1+r}\right)^{5} \)

Berechnen Sie den Bruch auf der linken Seite und lösen Sie nach \( r \) auf. Dadurch erhalten Sie die Zinsrate \( r \).
\( r \approx\left(\frac{1378,42}{1324,90}\right)^{\frac{1}{5}}-1 \)

Nachdem Sie \( r \) gefunden haben, setzen Sie einen der Werte (zum Beispiel den aus der ersten Gleichung) ein, um \( a \) zu berechnen:
\( 1324,90=a \cdot(1+r)^{5} \)

Berechnen Sie \( a \). Die Funktionsgleichung lautet dann \( f(x)=a \cdot(1+r)^{x} \).

Text erkannt:

1. Die Funktionsgleichung lautet: \( f(x)=a \cdot(1+r)^{x} \), wobei \( a \) der Anfangsbetrag, \( r \) die Zinsrate und \( x \) die Anzahl der Jahre ist.
2. Um den Anfangsbetrag \( a \) und die Zinsrate \( r \) zu finden, setzen Sie die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung ein:
\( \begin{array}{l} 1324,90=a \cdot(1+r)^{5} \\ 1378,42=a \cdot(1+r)^{6} \end{array} \)

Lösen Sie dieses Gleichungssystem, um \( a \) und \( r \) zu finden.
3. Um den Zeitpunkt zu finden, an dem sich das Geld verdoppelt, setzen Sie \( 2 a \) für \( (\mathrm{f}(\mathrm{x})) \) in die Funktionsgleichung ein und lösen Sie nach \( (\mathrm{x}) \) auf:
\( 2 a=a \cdot(1+r)^{x} \)

Lösen Sie diese Gleichung, um \( x \) zu finden.

Comments

Erstmal Danke. Wofür steht das 1+r?

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In der Kontext der Zinsformel steht \(1+r\) für den Zinssatz pro Periode, wobei \(r\) der Zinssatz als Dezimalzahl ist. Wenn Sie also den Zinssatz in Prozent haben, müssen Sie ihn durch 100 teilen, um ihn als Dezimalzahl zu verwenden.

Beispiel: Wenn der Zinssatz \(3\%\) ist, dann ist \(r = 0,03\) und \(1+r = 1,03\).

Die Formel \(a \cdot (1+r)^x\) berücksichtigt den Zinseszins-Effekt, wobei \(a\) der Anfangsbetrag, \(r\) der Zinssatz pro Periode und \(x\) die Anzahl der Perioden ist.

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Ich habe als Lösung 1200€ raus. Dafür habe ich die Gleichung nach a umgestellt, wie komme ich aber auf den Zinssatz.

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Die Antwort sieht nach der sogenannten "künstlichen Intelligenz" aus. Leider sind einige Fehler enthalten.

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Ich habe als Lösung 1200€ raus. Dafür habe ich die Gleichung nach a umgestellt, wie komme ich aber auf den Zinssatz.

Wie du ohne den Zinssatz auf 1200€ kommst, interessiert mich.

Answer 2

Hallo,

\( K(t) = K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^t\)

\( K(5)=1324,90€ = K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^5\)

\( K(7) =1378,42€= K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^7\)

Dividieren:

\(\dfrac{1378,42}{1324,90}=(1+\frac{p}{100})^2\)

\(1,0404\approx (1+\frac{p}{100})^2\)

Wurzelziehen:

\(1+\frac{p}{100}=1,02\)

\(\frac{p}{100}=0,02\\ p\%=2\%\)

...

\(K_0= 1200€\)

\(K(t)=1200€\cdot 1,02^t\)

:-)

Comments

Schau dir nochmals die letzte Zeile an: p = 1.02

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Danke, das war mein Mittagstief...

:-)

Answer 3

Frau Wan hat Geld angelegt. Nach 5 Jahren hat sie 1324,90 € nach 7 Jahren hat sie 1378,42 € auf dem Konto.

1) Wie lautetet die zugehörige Funktionsgleichung?

Das Gleichungssystem

a·q^5 = 1324.9
a·q^7 = 1378.42

hat näherungsweise die Lösung

a = 1200.015721 ∧ q = 1.019997794

Daher schlage ich folgende Funktionsgleichung vor:

f(x) = 1200·1.02^x

2.) Wieviel Geld hatte sie zu Beginn auf ihrem Konto und was ist die Zinsrate

Beide Werte kann man aus der Funktionsgleichung entnehmen.

3) Wann hat sich das Geld verdoppelt

1.02^x = 2 --> x = 35.00278878 

Nach etwa 35 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.

Answer 4

1) K(5) = 1324,90

I) K(7) = 1378,42

II) K*q^5 = 1324,90

K*q^7 =1378,42

dividieren: I/II:

q^-2 = 1324,9/1378,42

q^2 = 1378,42/1324,9

q= 1,02 -> i = 2%

K(x)= 1324,9*1,02^x

2)K(-5) = 1324,9/q^5 = 1273,45  , i = 2%

3) 1,02^x = 2

x= ln2/ln1,02 = 35 Jahre