Lineare Abbildung Darstellungsmatrix.

Question

Aufgabe:

$$\text{Gegeben sind die Vektorräume } \\ V= \Bigg\{  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}:\sum_{i=1}^3x_i =0\Bigg\} \subset \mathbb{R}^3 \ und \\ W= \Bigg\{  \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}:\sum_{i=1}^4y_i =0\Bigg\} \subset \mathbb{R}^4  \\ \text{und eine lineare Abbildung f definiert durch die Vorschrift: }\\ f \Bigg(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\Bigg) = \begin{pmatrix}  x_1 & -2x_2 & -x_3 \\ 2x_1 & -x_2 & -x_3 \\ -x_1 & -x_2 & 0 \\ -6x_1 & 0 & -2x_3 \end{pmatrix} \\\text{Zusätzlich gegeben sind folgende Vektoren, die jeweils eine Basis von V und W sind.}\\ u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \text{Bestimme die Matrix }M{^A}_{B} \text{von f bezüglich der Basen A und B} \\ \text{Berechne f(u) für den Vektor }u=u_2= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \in V \text{mit Hilfe der Matrix } M{^A}_{B}$$

Wie berechne ich die Matrix M und f(u) im Zusammenhang mit der Matrix M?

Comments

Was sind denn die Basen A und B?

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Basis A besteht aus u_1 und u_2 und Basis B besteht aus v_1,v_2,v_3

Answer 1

Wie berechne ich die Matrix M ?

\( f \Bigg(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\Bigg) = \begin{pmatrix}  x_1 & -2x_2 & -x_3 \\ 2x_1 & -x_2 & -x_3 \\ -x_1 & -x_2 & 0 \\ -6x_1 & 0 & -2x_3 \end{pmatrix}\)

kann ja schlecht sein, das Ergebnios liegt in W⊆ℝ⁴ , also wohl so:

\( f \Bigg(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\Bigg) = \begin{pmatrix}  x_1  -2x_2  -x_3 \\ 2x_1  -x_2  -x_3 \\ -x_1  -x_2  \\ -6x_1  -2x_3 \end{pmatrix}\)

In den Spalten von M stehen die Koordinaten, mit denen man

die Bilder von u1 und u2 durch die Basis B darstellt.

Also berechne

\( f \Bigg(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\Bigg)=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0\\-6 \end{pmatrix} = (-3)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Damit hast du schon die erste Spalte der gesuchten Matrix

\( \begin{pmatrix}  -3&? \\ 0&?\\ 6&? \end{pmatrix}\)

Mit dem Bild von u₂ bekommst du die 2. Spalte.

Für den 2. Teil stelle u durch die Basis A dar, multipliziere M

mit dem Koordinatenvektor und du hast die Koordinaten

von f(u) bzgl. der Basis B.

Comments

Also ist die zweite Spalte der Matrix (-3,1,4)?

Für den zweiten Teil habe ich (-6,5,2) raus