Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe P∞

Question

Aufgabe:

Die Reihe P∞
n=1 an sei absolut konvergent. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe P∞
n=1 a^2
n absolut
konvergiert.

Answer 1

Wenn die Reihe \(  \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n |  \) konvergiert, dann geht

die Folge \(  (|a_n|)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen 0. Also sind von einem N an

alle folgenden Glieder der Folge zwischen 0 und 1, also gilt dann

                \(  |a_n|^2 \lt |a_n| \)   .

Somit ist von da an \(  \sum\limits_{n=N}^\infty |a_n | \) eine konvergente Majorante für \(  \sum\limits_{n=N}^\infty |a_n |^2  \).