Zeigen Sie, dass die Folge an = n mit n ∈ N divergiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge a_n = n mit n ∈ ℕ divergiert.

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass die Folge a_n = n mit n ∈ ℕ divergiert.

Widerspruchbeweis

Comments

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_beweisen

Answer 1

Angenommen, es gäbe eine Grenze k für die gilt: n<k für alle n∈ℕ, dann existiert eine größte Zahl m∈ℕ mit m<k. 2m liegt als Produkt natürlicher Zahle ebenfalls in ℕ Dann gilt: 2m>m, was der Annahme widerspricht. Folglich gibt es keine solche Grenze k und die Folge der natürlichen Zahlen ist divergent.

Answer 2

Widerspruchsbeweis:

Wie nehmen also an, das \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L\) existiert.

Wegen \(a_n \geq 1\) muss dann \(L\geq 1\) sein.

Betrachte nun die Teilfolge \(a_{2n}=2n\), die dann ebenfalls gegen \(L\) konvergent sein muss. Also

\(\displaystyle L =\lim_{n\to\infty} a_{2n} = 2\lim_{n\to\infty} a_{n} = 2L\)

\(\Rightarrow L=0\) im Widerspruch zu \(L\geq 1\).