Aloha :)
i) Hier haben wir es mit einer geometrischen Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\) für \(|q|<1\) zu tun, sodass wir den Grenzwert sofort hinschreiben können:$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n3^{-n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{4}$$
ii) Hier bestimmen wir den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe:$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{5}{3n4^n}}{\frac{5}{3(n+1)4^{n+1}}}=\frac{3(n+1)4^{n+1}}{3n4^n}=\frac{n+1}{n}\,\frac{4^{n+1}}{4^n}=4\left(1+\frac{1}{n}\right)\implies$$$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=4$$Die Potenzreihe konvergiert also sicher für \(|x|<4\).
Der Vollständigkeit wegen prüfen wir noch die Grenzfälle \(x=\pm4\):$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{5}{3n4^n}(\pm4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{5}{3n}(\pm1)^n$$
a) Im Fall \(x=+4\) lautet die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{5}{3n}=\frac{5}{3}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\). Da die harmonische Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) divergiert, divergiert auch die betrachtete Summe für \(x=+4\).
b) Im Fall \(x=-4\) lautet die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{5}{3n}\). Da \(\frac{5}{3n}\) eine streng monotone Nullfolge ist, konvergiert diese Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.
Daher konvergiert die in (ii) untersuchte Reihe für \(-4\le x<4\).
