Affiner Unterraum enthält Verbindungsgeraden seiner enthaltenen Punkte

Question

Liebes Forum, meine heutige Aufgabe lautet:

Ich habe eine Teilmenge A des R^n, die mindestens zwei Punkte enthält und möchte zeigen, dass A genau dann ein affiner Unterraum des R^n ist, wenn für alle ungleichen Punkte P und Q aus A auch deren Verbindungsgerade PQ Teilmenge von A ist. Es ist eine Äquivalenz und mir fehlt eine Idee, wie ich diesen Beweis führen kann.

Ich bitte um Hilfe,

der Matheschwitzer

Answer 1

1. Richtung:

Vor.: A ist affiner Unterraum von ℝ^n und enthält zwei verschiedene Punkte x und y.

Beh.:   Für alle ungleichen Punkte P und Q aus A gilt:   PQ ⊆ A.

Sei A= v+U mit v∈A und U ist der zu A gehörige Untervektorraum von ℝ^n .

Seien P,Q ∈ A  mit P≠Q.  ==>   Es gibt u ∈ U mit P+u=Q .

Also ist u≠0 ( wegen P≠Q ) der Richtungsvektor von PQ.

Sei nun X ∈ PQ. Dann gibt es ein a∈ℝ mit X = P + a*u.

Da U ein Vektorraum ist, ist auch v=a*u ∈ U , also X = P+v mit v∈ U,

also X∈A.  q.e.d.

Comments

Danke, das verstehe ich. Da X beliebig auf PQ gewählt war, ist damit die "Hinrichtung" bewiesen. Kann ich für die entgegengesetzte Implikation genau umgekehrt verfahren?

Viele Grüße

Matheschwitzer

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Da wäre dann zu zeigen:

Vor.: Für alle ungleichen Punkte P und Q aus A gilt: PQ ⊆ A.

Beh.: A ist affiner Unterraum des Rⁿ .

Es ist also zu zeigen: Es gibt einen Punkt P∈A und einen

Untervektorraum U so, dass gilt A=P+U.

Da A zwei ungleiche Punkte P und Q enthält ( s. Vor. oben)

gibt es jedenfalls einen von 0 verschiedenen Vektor v

von P nach Q mit P+v=Q.

Betrachte nun für alle X∈A die Menge U der

Verbindungsvektoren von P zu X.

Das ist jedenfalls eine Teilmenge von Rⁿ . Man muss nun überlegen,

ob es wirklich ein Unterraum ist.

1. Ist v∈U, also v=PX mit X∈A, dann ist, da die Verbindungsgerade

PQ zu A gehört, auch jedes Vielfache von v in U. #

2. Sind  u=PX und v=PQ beide aus U, dann ist zu prüfen, ob auch

PX+PQ aus U ist. Wähle dazu M bestimmt durch PM=P+0,5(u+v).

M liegt auf der Verbindungsgeraden von X nach Q, gehört also

auch zu A. Damit ist 0,5(u+v) ∈ U, analog zu # also auch u+v.

3. Ist v∈U dann auch -v∈U ?

Dem ist so, da für v=PX auch   P-v  auf der Verbindungsgeraden

PX liegt.

Damit ist U ein Untervektorraum von ℝⁿ .  q.e.d.

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Ganz lieben Dank, den Punkt 1. verstehe ich nicht, d. h. den Argumentationsschritt zu PQ. Kannst du das bitte etwas näher erläutern?

Danke

der Matheschwitzer

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Ist v∈U, also v=PX mit X∈A, dann gilt P+v=X.

1. Fall (P=X)    v=0-Vektor. Dann ist für jedes a∈ℝ auch a*v=0 ,

also jedes Vielfache von v in U.

2. Fall (P≠X)  also v≠0.   Dann ist für jedes a∈ℝ auch P+a*v

ein Punkt der Verbindungsgerade PX und somit P+a*v∈ A

Also a*v auch ein Verbindungsvektor von P mit einem Punkt aus A

und damit a*v ∈U.

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Danke für dein Mühe, jetzt habe ich es komplett verstanden.

VG

Matheschitzer