Aloha :)
zu a) Die Bedingung lautet \(\;a_2-2a_4=0\;\) also ist \(\;\pink{a_2=2a_4}\;\).
Damit können wir alle Vektoren von \(U_1\) wie folgt schreiben:$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\\pink{a_2}\\a_3\\a_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\\pink{2a_4}\\a_3\\a_4\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}+a_4\begin{pmatrix}0\\2\\0\\1\end{pmatrix}$$Der Raum \(U_1\) ist 3-dimensional, denn wir haben 3 frei wählbare Variablen und 3 linear unabhängige Basisvektoren gefunden. Die \(x_1\)-Koordinate können wir nur durch \(a_1\) regeln, die \(x_3\)-Koordinate nur durch \(a_3\) und die \(x_4\)-Koordinate nur durch \(a_4\). Die \(x_2\)-Koordinate ist dann fest vorgegeben.
zu b) Die Bedingung lautet \(\;a_1+a_2=a_3+a_4\;\) also ist \(\;\pink{a_2=a_3+a_4-a_1}\;\).
Damit können wir alle Vektoren von \(U_2\) wie folgt schreiben:$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\\pink{a_2}\\a_3\\a_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\\pink{a_3+a_4-a_1}\\a_3\\a_4\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+a_4\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$Der Raum \(U_2\) ist 3-dimensional, denn wir haben 3 frei wählbare Variablen und 3 linear unabhängige Basisvektoren gefunden. Die \(x_1\)-Koordinate können wir nur durch \(a_1\) regeln, die \(x_3\)-Koordinate nur durch \(a_3\) und die \(x_4\)-Koordinate nur durch \(a_4\). Die \(x_2\)-Koordinate ist dann fest vorgegeben.
zu c) Nun müssen beide Bedingungen erfüllt sein:$$\pink{a_2=2a_4}\;\land\;\pink{a_2=a_3+a_4-a_1}\implies2a_4=a_3+a_4-a_1\implies \green{a_4=a_3-a_1}$$$$\pink{a_2=2a_4}\;\land\;\green{a_4=a_3-a_1}\implies a_2=2(a_3-a_1)\implies\green{a_2=2a_3-2a_1}$$
Die Vektoren von \(U_1\cap U_2\) können wir daher so darstellen:$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\\green{a_2}\\a_3\\\green{a_4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\\green{2a_3-2a_1}\\a_3\\\green{a_3-a_1}\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\-1\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$$Der Raum \(U_1\cap U_2\) ist 2-dimensional, denn wir haben 2 frei wählbare Variablen und 2 linear unabhängige Basisvektoren gefunden.
zu d) Nun ist der Raum \(U_1+U_2\) gesucht, der die beiden Räume \(U_1\) und \(U_2\) vollständig enthält. Dieser Raum wird sicher durch die 3 Basisvektoren von \(U_1\) gemeinsam mit den 3 Basisvektoren von \(U_2\) aufgespannt. Da wir jedoch eine Basis angeben sollen, rechnen wir eventuell vorhandenen lineare Abhängigkeiten dieser 6 Vektoren untereinander durch elementare Spalten-Operationen heraus. Unser Ziel es, so viele Zeilen wie mögliche zu erzeugen, die aus lauter Nullen und genau einer Zahl ungleich Null bestehen.$$\begin{array}{rrrrrr}& & & -S_1 &\\\hline1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr}& & +2S_4 &\cdot(-1) & +S_4 & +S_4\\\hline\pink1 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0\\0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrrrr}& & & & -S_2 & -S_3\\\hline\pink1 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0\\\pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink1 & \pink0 & \pink0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\to\pink{\begin{array}{rrrrrr}\vec e_1 & \vec e_3 & \vec e_4 & \vec e_2 & & \\\hline\pink1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \pink1 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \pink1 & 0 & 0 & 0\end{array}}$$
Übrig bleiben die 4 kanonischen Basisvektoren \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec e_4\) des \(\mathbb R^4\).
Daher ist \((U_1+U_2)=\mathbb R^4\).
