Question

Sind die folgenden Mengen Unterräume von R2 über R? Wenn ja, bestimmen Sie jeweils eine Basis dafür.

(a) { \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ∈ R2 | 2x−y = 0 }

(b) { \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ∈ R2 | 2x−y = 1 }

(c) { \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \) | λ ∈ R }

(d) { λ \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) | λ ∈ Z}

(e) L(S1), mit S1 = { \( \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \) }

(f) L(S2), mit S2 = { \( \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\6 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -2\\6 \end{pmatrix} \) }

Ich komme leider nicht mehr weiter bei dieser Aufgabe :((

Answer 1

a) Ja, von 2 Elementen die Summe ist drin und von jedem Element jedes Vielfache.

Basis z.B. (1;2)

b) Nein (0;-1) ist drin aber 2*(0;-1) nicht

c) Nein (1;1) ist drin aber 2*(1;1) nicht

d) ja, wie bei a)     Basis z.B. (1;1)

Was bedeutet denn das L ?

Comments

Hallo. Danke für die Antwort :)

Ich glaube das ist einfach eine Mengenbezeichnung.

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Heißt es vielleicht

"Menge aller Linearkombinationen" oder

"lineare Hülle"

dann sind es natürlich Unterräume.

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Darf ich noch etwas fragen?

Wie würde es bei

1• f(0) = 0 und f(1) = 0 | f ist element v. V

2• f(0) = 0 und f(1) = 1 | f ist element v. V

ausschauen?

1 ist ein Unterraum und 2 nicht oder?

Meistens verstehe ich das Problem aber kann nicht mathematisch beweisen.

Wie kann ich das mathematisch beweisen?

Und Vielen Dank für deine Hilfe:)

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U := {f(0) = 0 und f(1) = 0 | f ist element v. V}

hier ist V ja wohl ein Funktionenraum,

vielleicht f:ℝ --> ℝ ?

Dann ist das in der Tat ein Unterraum, und beweisen

kannst du das so:

1. U ist nicht leer, da z.B. die 0-Funktion in U ist.

2. Sind f und g in U, dann gilt

f(0) = 0 und f(1) = 0 und g(0) = 0 und g(1) = 0

Und nach Def. der Addition ist ja

(f+g)(0) = f(0)+g(0)

und das ist ja lt. Vor. = 0 + 0 = 0

und (f+g)(1) = f(1)+g(1)  = 0 + 0 = 0

also f+g auch aus U.

3. Ist f  in U und k ∈ℝ , dann gilt  (kf)(0) = k*f(0)

also   (kf)(0) = k*0 = 0 und entsprechend (kf)(1) = k*0 = 0

also auch kf in U

1,2,3 zeigen: U ist ein Unterraum von V.

Bei dem anderen geht das nicht, denn wenn

z.B. f(1)=1 und g(1)=1 gilt, dann ist (f+g)(1) = 2,

also f+g nicht in U, somit U kein Unterraum von V.

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Vielen Dank! Hat mir wirklich sehr weitergeholfen.