Welche der Mengen sind Unterräume des R^3

Question

wir behandeln das Thema Untervektorraum:

Eine Menge ist ein Unterraum, falls gilt

1) U ≠ ∅ (mindestens 0 ∈ U)

2) ∀ u,v ∈ U ⇒ u+v ∈ U

3) ∀λ∈K, ∀u∈ U ⇒ λ*u∈ U

Und die Aufgabe ist herauszufinden welche der folgenden Mengen Unterräume im R^3 sind.

a) (x,0,0)

b) (x,1,1)

c) (x,y,z) mit y=x+z

d) (x,y,z) mit y=x+z+1

Ich habe zwar jetzt die Lösungen zu den Aufgaben aber verstanden habe ich das nicht so ganz.

Kann mir jemand hier weiterhelfen?

Answer 1

a) Betrachte solche (x,0,0) für x∈ℝ.

Für x=0 hast du den 0-Vektor .

Die Summe von solchen ist wieder vom gleichen Typ

und  λ*  (x,0,0) ist auch wieder von diesem Typ.

Also Unterraum.

Bei c) entsprechend.

Bei den anderen findest du Gegenbeispiele.

Comments

Hallo,

danke für deine Antwort.

Ich schicke dir mal meine Lösungen.

Könntest du mir hier für c uv2 und uv3 erklären?

Ich verstehe nicht ob die Bedingungen hier jetzt erfüllt sind oder nicht und wieso das so ist.

Danke schon einmal für deine Hilfe!

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Bei c) solltest du auch etwas argumentieren, etwa indem du so anfängst:

Seien (x,y,z) und (x',y',z') aus U

==>   (x,y,z) + (x',y',z') = ...

und wegen  y=x+z und y'=x'+z'  gilt auch

y+y' = ...

also ist die Summe auch aus U.

Entsprechend bei λ* ...

d)  Das ist kein Unterraum; denn  z.B.

ist (1;3;1) ∈ U weil  3=1+1+1

aber  2*(1;3;1) (2;6;2) ∉ U weil 6 ≠2+2+1

Wenn etwas nicht allgemein stimmt, reicht

ein Gegenbeispiel.