(a) Prüfen Sie, ob die Teilmengen
$$ \begin{array}{l} U_{1}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(0)=0\} \\ U_{2}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(0)=1\} \\ U_{3}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(1)=0\} \\ U_{4}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: \int \limits_{0}^{1} p(x) d x=0\right\} \\ U_{5}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: p^{\prime}(0)+p^{\prime \prime}(0)=0\right\}, \\ U_{6}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: p^{\prime}(0) p^{\prime \prime}(0)=0\right\} \end{array} $$
von \( \mathbb{R}[x] \) Unterräume von \( \mathbb{R}[x] \) sind.
(b) Prüfen Sie, ob die Teilmengen
\( S_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right): a=b\right\}, \quad S_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right): a+b=1\right\}, \quad S_{3}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right): a^{2}=b^{2}\right\} \)
von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) Unterräume von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) sind.
