Prüfen Sie, ob die Teilmengen Unterräume sind

Question

Prüfen Sie, ob die Teilmengen

$$ \begin{array}{l} U_{1}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(0)=0\} \\ U_{2}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(0)=1\}, \\ U_{3}=\{p \in \mathbb{R}[x]: p(1)=0\}, \\ U_{4}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: \int \limits_{0}^{1} p(x) d x=0\right\}, \\ U_{5}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: p^{\prime}(0)+p^{\prime \prime}(0)=0\right\}, \\ U_{6}=\left\{p \in \mathbb{R}[x]: p^{\prime}(0) p^{\prime \prime}(0)=0\right\} \end{array} $$
von \( \mathbb{R}[x] \) Unterräume von \( \mathbb{R}[x] \) sind.

Answer 1

Hallo :-)

Ich mach das mal zur ersten Menge \(U_1\) vor:

1.) \(U_1\neq \{\},\) denn für \(p=0\) ist auch \(p(0)=0,\) also ist \(p\in U_1\). (Du kannst auch \(p(x)=a\cdot x\) für alle \(a\in \mathbb{R}\) betrachten...).

2.) Seien \(p,q\in U_1\) beliebig. Es gilt also \(p(0)=0\) und \(q(0)=0\).

Also gilt auch \(0=0+0=p(0)+q(0)\stackrel{\text{punktweise}}{=}(p+q)(0)\) und damit \(p+q\in U_1\).

3.) Sei nun \(p\in U_1\) und \(\alpha\in \mathbb{R}\) beliebig. Es gilt also \(p(0)=0\).

Also gilt auch \(0=\alpha\cdot 0=\alpha \cdot p(0)\stackrel{\text{punktweise}}{=}(\alpha\cdot p)(0)\) und damit \(\alpha\cdot p\in U_1\).

Zu \(U_2\). Ist kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}[x]\). Wähle dazu zb \(p(x)=1\) und \(q(x)=x+1\). Dann gilt zwar \(p(0)=1=q(0)\) und damit \(p,q\in U_2\).

Es gilt aber \((p+q)(0)\stackrel{\text{punktweise}}{=}p(0)+q(0)=1+1=2\neq 1\), sodass \(p+q\notin U_2\) gilt. Damit ist \(U_2\) kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}[x]\).