Welche der folgenden Teilmengen sind lineare Unterräume?

Question

(a) \( U_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}-x_{2}=0\right\} \)

(b) \( U_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}-x_{2}=3\right\} \)
(c) \( U_{3}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid\right. \) Es gibt ein \( t \in \mathbb{R} \) mit \( x_{1}=t \) und \( \left.x_{2}=2 t\right\} \)
(d) \( U_{4}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid\right. \) Es gibt ein \( t \in \mathbb{R} \) mit \( x_{1}=t^{2} \) und \( \left.x_{2}=t^{3}\right\} \)
(e) \( U_{5}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}\right. \) ist eine ganze Zahl \( \} \)

Nur kurz zur Überprüfung, a) ist ein linearer Unterraum, b) ist kein linearer Unterraum, c) ist ein linearer Unterraum, d) ist kein linearer Unterraum, e) ist kein linearer Unterraum.

Answer 1

Handelt es sich um einen linearen Unterraum, begründen Sie weshalb; handelt es sich nicht um einen linearen Unterraum, zeigen Sie, wieso eine der definierenden Eigenschaften verletzt ist.

Das, was du bisher hast, sind also nur Vermutungen, die schon recht gut aussehen.

Begründet, warum es ein linearer Unterraum ist, hast du nicht und auch nicht gezeigt, warum etwas kein linearer Unterraum ist.

Kommt das noch?

Comments

Ich habe tatsächlich vier Seiten geschrieben, auf denen ich alles genau beweise, ob die Unterräume nicht leer sind (da der Nullvektor darin enthalten ist), sowie die Abgeschlossenheit unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation, usw. Da die Aufgabe ziemlich einfach ist und ich nur kurz zur Überprüfung geschrieben habe, fand ich den Rest unnötig hier zu erwähnen.

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Ok. Dann hab einfach mehr Selbstvertauen. Der Übungsleiter wird das schon kontrollieren.

Vor allem, ob die Beweise stimmen. Das ist doch hier das wichtigste.