Sind diese Teilmengen von R2x2 Unterräume

Question

Hallo, ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die Teilmengen

\( S_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right): a=b\right\}, \quad S_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right): a+b=1\right\}, \quad S_{3}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right): a^{2}=b^{2}\right\} \)
von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) Unterräume von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) sind.

Answer 1

Hallo,

du musst zeigen, dass das Nullelement enthalten ist und dass jede Linearkombination aus Elementen des Unterraums wieder im Unterraum liegt. Du kannst \(S_2\) ziemlich schnell ausschließen, da die Nullmatrix nicht enthalten ist. Ich mache mal exemplarisch \(S_1\):

Sei \(A,B\in S_1\) und \(\alpha \in \mathbb{R}\). Zu zeigen ist, dass \(\alpha A+B\in S_1\). Wenn aber \(A,B\in S_1\), dann ist \(a_{11}=a_{12}\) und \(b_{11}=b_{12}\). Die Addition und die skalare Multiplikation wird bei Matrizen komponentenweise erklärt, d. h.:$$\alpha \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a_{11}+b_{11}  & \alpha a_{12}+ b_{12}\\ \alpha a_{21}+b_{21}& \alpha a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}$$ Gilt hier immer noch \(\alpha a_{11}+b_{11}=\alpha a_{12}+ b_{12}\) unter der Voraussetzung, dass \(a_{11}=a_{12}\) und \(b_{11}=b_{12}\)?

Antwort: Ja, also ist in der Tat \(\alpha A+B\in S_1\).