Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion überprüfen 2: f ' (x) = (x^2-4x+7)/(x-2)^2

Question

zuvor habe ich die erste Ableitung der Funktion bestimmt:

f(x) = (x² - 2x - 3) / (x-2)
 

Diese lautet -> f ' (x) = (x^2-4x+7)/(x-2)^2
Ich habe versucht die zweite Ableitung mittels der Qutientenregel zu berechnen:

$$f'(x)\quad =\quad \frac { x²\quad -\quad 4x\quad +\quad 7 }{ { (x-2) }^{ 2 } } \\ v\quad =\quad x²\quad -\quad 4x\quad +\quad 7,\quad v'\quad =\quad 2x\quad -\quad 4\\ u\quad =\quad (x-2)²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u'\quad =\quad 2*(x-2)\\ \\ f''(x)\quad =\quad \frac { v'*u\quad -\quad v*u' }{ u² } \quad =>\quad \frac { (2x-4)*(x-2)²\quad -\quad (x²-4x+7)*2*(x-2) }{ { (x-2) }^{ 4 } } =>\\ \frac { (2x-4)*(x-2)²\quad -\quad (x²-4x+7)*2 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\quad \frac { (2x-4)*(x²-4x+4)\quad -\quad (x²-4x+7)*2 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\\ \frac { 2x³-8x²+8x-4x²+16x-16\quad -\quad (2x²-8x+14) }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\quad \frac { 2x³-8x²+8x-4x²+16x-16\quad -\quad 2x²+8x-14 }{ { (x-2) }^{ 3 } } =>\\ \frac { 2x³-14x²+32x-30 }{ { (x-2) }^{ 3 } }$$

Das Problem: Ich weiss, dass die richtige Ableitung so lauten müsste:
$$f''(x) = -\frac{6}{(x-2)^3}$$

Was habe ich wohl falsch gemacht?



 

Answer 1

f(x) = (x^2 - 2·x - 3)/(x - 2)

f'(x) = (x^2 - 4·x + 7)/(x - 2)^2

Ableitung nach Quotientenregel

f''(x) = ((2·x - 4) · (x - 2)^2 - (x^2 - 4·x + 7) · 2·(x - 2)) / (x - 2)^4

f''(x) = ((2·x - 4) · (x - 2) - (x^2 - 4·x + 7) · 2) / (x - 2)^3

f''(x) = ((2·x^2 - 8·x + 8) - (2·x^2 - 8·x + 14)) / (x - 2)^3

f''(x) = - 6 / (x - 2)^3

Du warst also unachtsam beim Kürzen. Du musst aus jedem Summanden im Zähler kürzen und nicht nur aus einem.

Comments

Vielen dank.

Ich weiss nicht ob ich ohne deine Hilfe auf diesen Fehler aufmerksam geworden wäre.
Ich werde es mir notieren und hoffentlich diese Fehler nicht erneut machen :)

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Solange du dir merkst, dass

(ab - ac) / (ad) = ab / (ad) - ac / (ad) = b / d - c / d = (b - c) / d

Dann kann eigentlich nichts mehr schiefgehen.

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Es gibt da ja auch noch einen kleinen Merkspruch:

Aus Summen kürzen nur die Dummen :)


Aber die Schlauen kürzen auch aus Summen, und zwar dann aus jedem Summanden.