Vektoren und Ebenen berechnen

Question

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1) Unhersuchen die die gegenseitige Lage der Ebenen
\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)+S \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), F: 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-6 \) und \( G:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)=0\right. \) und beshimen die gegebenenfalls die schnittgerade.
2) Die Ebene \( E \) und die Geradeg sunneiden sich. Das zu berechnende LGS ist recurs in Matrixform dargesteltt.
a) Füllen sie die Lücken in den Paramekergleichungen von Matrixtorm \( \left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right] \)
b) Berechne den schrittpunkhe von \( E \) und \( g \). \( \left[\begin{array}{llll}1 & 3 & -1 & -4\end{array}\right] \)

Ich schreibe bald eine Mathe-Klausur und habe beim Üben Schwierigkeiten mit diesen beiden Aufgaben. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

1) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen:

\( E: ~~~\vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), \\ F: ~~~4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-6 \) und \( \\G:~~~\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)=0 \) und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.

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Ich betrachte zuerst F und G. Der Normalenvektor von G ist doppelt so groß wie der von F. Die beiden Ebenen sind also entweder identisch oder verlaufen parallel.

Der Punkt (1|4|-2) liegt in G. Liegt er auch in F?

4•1-2•4+(-2)=4-8-2=-6 ✓

F und G sind identisch!

Nun untersuche ich E und F (oder E und G).

Sind die Skalarprodukte aus dem Normalenvektor von F und den Richtungsvektoren von E gleich Null?

4•1   -2•(-1)   +1•(-2) =4+2-2=4 → Die Ebenen E und F schneiden sich.

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Und wie berechne ich den Schnittgerade?

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Du kannst z.B. E in G einsetzen.

\( E \rightarrow G: ~~~ \\ \left[\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)=0  \\ \left[\left(\begin{array}{r}1 \\ -4\\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)=0 \\ 32 +8t+4s=0\\ s= -8-2t\)

Das muss jetzt in E eingesetzt werden.

Answer 2

Zu 1) \( G:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)=0\right. \) ist keine Geradengleichung.

Zu 2) Schreibst du die Eins mal so 1 mal so | ?

Zähle bitte alle Möglichkeiten für die Lage von Gerade und Ebene zueinander auf und bessere die Geradengleichung nach. Dann kann man dir helfen.

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Es geht hier gar nicht um Geraden und Ebenen, sondern nur um Ebenen. Und dann ist auch klar, dass bei G lediglich eine Klammer fehlt...