Bestimmen Sie eine Parametergleichung von h. Vektoren und Ebenen. Textaufgabe

Question

Aufgabe:

Die Seitenflächen einer V-förmigen Rinne liegen in den Ebenen E1 und E2. Die Ebene E1 ist durch die Punkte A(-3|9|8), B(12|-1|-3) und C(6|1|-1) festgelegt. Die Ebene E2 hat die Gleichung E2: 2x1 + 3x2 + 3x3 = 12.

Die Ebene E3 hat die Gleichung E3: -6x1 + 2x2 + 2x3 = -14

Punkt S liegt bei S(3|2|0)

a), b) und c) sind schon erledigt.

Probleme hab ich bei d) Die Gerade h, welche durch S und R verläuft, ist in den Ebenen E2 und E3 gemeinsam. Bestimmen Sie eine Parametergleichung von h.

Problem/Ansatz:

Ich habe E3 in E2 eingesetzt und bekam die Gleichung h: x = (3, 2, 0) + t • (0, -1, 1)

Die ist aber vermutlich falsch.

Habt ihr eine Idee? (3, 2, 0).. ist hier als Matrix dargestellt, also in dem Fall ist h in der Parameterform.

Comments

Die ist aber vermutlich falsch.

Worauf stützt sich dein "vermutlich"?

Hast du als erstes überprüft, ob dein Geradenpunkt (3|2|0) beiden Ebenen angehört?

Hast du das für einen zweiten Geradenpunkt (mit t=1 erhältst du z.B. (3|1|1)) überprüft?

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Die Sache ist in einer weiteren Aufgabe muss die Länge von SR mit ST übereinstimmen und die Länge von SR, ist in dem Fall ja der Vektor (0, -1, 1) und ist kleiner als die Länge ST

Deswegen glaube ich dass die Geradengleichung falsch sein muss, weil der Richtungsvektor nicht richtig ist

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Damit können wir (zumindest ich) nichts anfangen.

Du bringst plötzlich einen Punkt T ins Spiel, den du vorher nie erwähnt hast.

Dann nennst du 3 Ebenen, von denen nur zwei die Seitenflächen der V-förmigen Rinne sein sollen. Welche Bedeutung hat die dritte Ebene?

Sortiere bitte deine Gedanken, bevor du irgendwas bruchstückhaftes fragst.

Answer 1

Hallo,

Ich habe E3 in E2 eingesetzt und bekam die Gleichung h: x = (3, 2, 0) + t • (0, -1, 1)
Die ist aber vermutlich falsch.

Nein - das ist genau richtig, wie das Bild hier zeigt

\(E_1\) ist die grüne Ebene, \(E_2\) die lilane und die gelbe ist \(E_3\). Die Gerade \(h\) - der rote Vektor nebst lila Gerade - ist die von Dir berechnete. Sie sieht aus wie die Schnittgerade von \(E_2\) und \(E_3\). (klick drauf!)

Die Sache ist in einer weiteren Aufgabe muss die Länge von SR mit ST übereinstimmen und die Länge von SR, ist in dem Fall ja der Vektor (0, -1, 1) und ist kleiner als die Länge ST

Die Länge des Richtungsvektor einer Geraden darfst Du beliebig wählen (außer =0 versteht sich!) Durch eine Längenänderung dieses Vektors ändert sich die Gerade selbst rein gar nicht - lediglich der Zusammenhang der Variable \(t\) zu den einzelnen Punkten auf der Geraden.

e) Bestimmen Sie die Koordinaten von R. Nutzen Sie dazu, dass \( R \) auf \( h \) liegt und dass die Kanten \( \overline{\mathrm{ST}} \) und \( \overline{\mathrm{SR}} \) gleich lang sind. Außerdem ist die \( \mathrm{x}_{3} \)-Koordinate von \( \mathrm{R} \) positiv.

Um zum Punkt \(R\) zu kommen, bringe den Richtungsvektor \(\vec{r}=(0|\,-1|\,1)^T\) von \(h\) auf die Länge von \(|ST|=5\sqrt{2}\). Dazu normiert man zunächst \(\vec{r}\), so dass er die Länge \(1\) hat, und multipliziert ihn dann auf die gewünschte Länge. \(R\) ist dann$$R = S +\frac{|ST|}{|\vec{r}|} \vec{r} =  \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\\ 5\end{pmatrix}$$Die \(x_3\)-Koordinate von \(\vec{r}\) ist positiv, damit liegen wir bereits auf der 'richtigen' Seite.

Gruß Werner

Comments

Hey

S ist (3|2|0)

T ist (6|6|5) und R ist unbekannt. T habe ich in den anderen Aufgaben herausgefunden

Sende dir hier einfach Mal die Aufgaben, dann ist es bestimmt einfacher zu verstehen. Hätte ich früher machen sollen, mein Fehler.

Hab jetzt immer noch Probleme bei e)

Text erkannt:

20. Die Seitenflächen einer V-förmigen Rinne liegen in den Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \). Die Ebene \( E_{1} \) ist durch die Punkte \( A(-3|9| 8), B(12|-1|-3) \) und \( C(6|1|-1) \) festgelegt. Die Ebene \( E_{2} \) hat die Gleichung \( E_{2}: 2 x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}=12 \).
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden \( g \), in der die beiden Seitenflächen zusammenstoßen.
b) Die Rinne wird senkrecht durch ein Dreieck RST mit \( S(3|2| 0) \) abgeschlossen. Dieses Dreieck liegt in der Ebene \( E_{3} \). Geben Sie eine Gleichung von \( \mathrm{E}_{3} \) an.
c) Die Kante AT verläuft parallel zu g. Berechnen Sie die Koordinaten von T und die Länge der Strecke \( \overline{\mathrm{TS}} \).
d) Die Gerade \( h \), welche durch \( S \) und \( R \) verläuft, ist den Ebenen \( E_{2} \) und \( E_{3} \) gemeinsam. Berechnen Sie eine Parametergleichung von \( h \).
e) Bestimmen Sie die Koordinaten von R. Nutzen Sie dazu, dass \( R \) auf \( h \) liegt und dass die Kanten \( \overline{\mathrm{ST}} \) und \( \overline{\mathrm{SR}} \) gleich lang sind. Außerdem ist die \( \mathrm{x}_{3} \)-Koordinate von \( \mathrm{R} \) positiv.

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Hab jetzt immer noch Probleme bei e)

ich habe meine Antwort um die Lösung von e) erweitert (s.o.).