Schnittpunkt, Parametergleichung und allgemeine Gleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Ebene \( E_{1}: \quad 6 x+3 y+6 z=12 \) und die Gerade

\( g:=\{(2,1,0)+t \cdot(-1,1,1), t \in \mathbb{R}\} . \)

a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt \( S \) von \( E_{1} \) und \( g \).

b) Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Lotgerade \( h \) von \( P(0,0,1) \) auf \( E_{1} \) und den Abstand \( d \) von \( P \) zu \( E_{1} \).

c) Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene \( E_{2} \), welche \( g \) enthält und auf \( E_{1} \) senkrecht steht.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das?

Answer 1

a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von E1 und g.

g in E1 einsetzen

6·x + 3·y + 6·z = 12
2·x + 1·y + 2·z = 4
2·(2 - t) + 1·(1 + t) + 2·(t) = 4 --> t = -1

t in g einsetzen

S = [2 - (-1), 1 + (-1), (-1)] = [3, 0, -1]

b) Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Lotgerade h von P(0, 0, 1) auf E1 und den Abstand d von P zu E1.

Gerade h

h: X = [0, 0, 1] + r·[2, 1, 2]

P in die Abstandsformel einsetzen

d = |2·x + 1·y + 2·z - 4| / √(2^2 + 1^2 + 2^2)
d = |2·0 + 1·0 + 2·1 - 4| / √(2^2 + 1^2 + 2^2) = 2/3

c) Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung der Ebene E2, welche g enthält und auf E1 senkrecht steht.

E2: X = [2, 1, 0] + r·[-1, 1, 1] + s·[2, 1, 2]

n = [-1, 1, 1] ⨯ [2, 1, 2] = [1, 4, -3]

E2: x + 4·y - 3·z = 6