Bestimmen Sie den Term der Funktion f .

Question

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt \( (1 \mid 6,75) \) die Steigung 2,25 hat und im Punkt \( (4 \mid 0) \) einen Extrempunkt besitzt.

a) Bestimmen Sie den Term der Funktion \( f \).

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{3}{4} x^{3}-6 x^{2}+12 x \)
Die Gerade \( \mathrm{x}=\mathrm{u}(0<u<6) \) schneidet die \( \mathrm{x} \)-Achse im Punkt \( \mathrm{Q} \) und den Graphen der Funktion \( f \) im Punkt
T. Der Punkt \( O \) ist der Ursprung des Koordinatensystems.
b) Bestimme u so, dass das Dreieck OQT maximalen Flächeninhalt hat. Berechne den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks und bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks.
(Zur Kontrolle: \( A(u)=\frac{3}{8} u^{4}-3 u^{3}+6 u^{2} \) ).

Answer 1

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt \( (1 \mid 6,75) \) die Steigung 2,25 hat und im Punkt \( (4 \mid 0) \) einen Extrempunkt besitzt.

\(f(x)=a*(x-4)^2*(x-N)\)

Punkt \( (1 \mid 6,75) \):

\(f(1)=a*(1-4)^2*(1-N)=6,75\)

\(f´(x)=...\)

\(f´(1)=...=2,25\)

Comments

wie wrde ich b lösen?

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wie wrde ich b lösen?

Am besten erst einmal selbst versuchen...

Answer 2

a) P(1|6,75) (1) 6,75=a+b+c+d

  Q(4|0)      (2) 0=64a+16b+4c+d

f '(1)=2,25  (3) 2,25=3a+2b+c

f '(4)=0       (4) 48a+8b+c

Löse das System (1), (2), (3), (4) und setze die Lösungen in f(x)=ax³+bx²+cx+d ein.

Comments

wie würde b) aussehen?

Answer 3

2. A(u) = u*f(u) /2

Berechne A'(u) = 0

(u= 2, A= 6 FE)

Answer 4

Hallo,

stelle bitte demnächst deine Fragen einzeln ein.

Eine Funktion 3. Grades und ihre ersten beiden Ableitungen kann man schreiben als

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=3ax+2b\)

Du brauchst vier Gleichungen für die vier Unbekannten.

\(\text{Punkt }(1\mid6,75)\Rightarrow f(1)=6,75\\ 1. \quad a+b+c+d=6,75\\ \text{Steigung 2,25}\Rightarrow f'(1)=2,25\\ 2.\quad 3a+2b+c=2,25\\ \text{Extrempunkt bei }(4\mid0)\Rightarrow f(4)=0\quad f'(4)=0\\ 3.\quad 64a+16b+4c+d=0\\ 4.\quad 48a+8b+c=0\)

Lösung s. Aufgabe b).

Flächeninhalt des Dreiecks:

\(A=\frac{u\cdot f(u)}{2}=\frac{u\cdot (\frac{3}{4}u^3-6u^2+12u)}{2}=\frac{\frac{3}{4}u^4-6u^3+12u^2}{2}=\frac{3}{8}u^4-3u^3+6u^2\)

Bilde die 1. Ableitung A', setze sie = 0 und löse nach u auf.

[spoiler]

\(\frac{3}{2}u^3-9u^2+12u=0\\ \frac{3}{2}u\cdot(u^2-6u+8)=0\\ u_1=0\quad \vee \\ u^2-6u+8=0\\ u_{2,3}=3\pm\sqrt{9-8}=0\\ \green {u_2=2}\quad u_3=4 \)

[/spoiler]

Gruß, Silvia