Analyse von Eigenwerten in der linearen Algebra

Question

Sei \( A \in K^{n, n}, u_{1}, \ldots, u_{n} \) eine Basis des \( K^{n} \) und für \( i=1, \ldots, n \) sei \( A u_{i}=\lambda_{i} u_{i} . A \) besitze genau \( k \) paarweise verschiedene Eigenwerte \( \mu_{1}, \ldots, \mu_{k} \) bzw. einen Eigenwert \( \mu \).

a) Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von \( A \) in der Menge \( \left\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right\} \) enthalten ist.
b) Für \( j=1, \ldots, k \) sei \( n_{j} \) die Dimension des Eigenraums \( \left\{x \in K^{n}: A x=\mu_{j} x\right\} \) von \( A \) zum Eigenwert \( \mu_{j} \). Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert \( \mu_{j} \) genau \( n_{j} \) mal in der Familie \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) vorkommt.

Answer 1

Seien \(v\in K^n\), \(\lambda \in K\) mit \(v = \sum_{i=1}^n\alpha_iu_i\neq 0\) und \(Av=\lambda v\). Dann ist

        \(Av = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}Au_{i} = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}u_{i}\)

und

        \(\lambda v = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda u_{i}\).

Somit ist

        \(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}u_{i} = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda u_{i}\).

Koeffizientenvergleich liefert

        \(\alpha_{i}\lambda_{i} = \alpha_{i}\lambda\)

für alle \(i\in \{1,\dots, n\}\).

Sei \(j\in \{1,\dots, n\}\) mit \(a_j\neq 0\). Dann ist \(\lambda_j = \lambda\).