Aufgabe:
Betrachten Sie die Polynome \( f(x)=3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2, g(x)=3 x^{3}+4 x^{2}+x \in \mathbb{F}_{7}[x] \) und das davon erzeugte Ideal
\( I=(f(x), g(x)):=\left\{a(x) f(x)+b(x) g(x) \mid a(x), b(x) \in \mathbb{F}_{7}[x]\right\} \subseteq \mathbb{F}_{7}[x] . \)
(a) Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler \( d(x) \) von \( f(x) \) und \( g(x) \), sowie Polynome \( a(x), b(x) \in \mathbb{F}_{7}[x] \) mit \( d(x)=a(x) p(x)+b(x) q(x) \).
Problem/Ansatz:
Ich hab mit einer Polynomdivision begonnen, aber irgendwie komme ich ab hier nicht mehr weiter:
\( \begin{array}{l}g g T\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2,3 x^{3}+4 x^{2}+x\right) \text { in } \mathbb{F}_{7}[x] \\ \qquad \begin{array}{c}\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2\right):\left(3 x^{3}+4 x^{2}+x\right)=x^{2}+\frac{2}{3} \\ \frac{-\left(3 x^{5}+4 x^{4}+x^{3}\right)}{2 x^{3}+x^{2}+x+2} \\ \frac{-\left(2 x+\frac{3}{3} x^{2}+\frac{2}{3} x\right)}{\frac{2}{3} x^{2}+\frac{1}{3} x+2}\end{array}\end{array} \)
