Basis von einem Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei k ∈ N, und seien b1, . . . bk paarweise verschiedene Vektoren, die alle ungleich dem
Nullvektor sind, sodass {b1, . . . , bk} ein Erzeugendensystem des Vektorraums V ist. Zeigen Sie, dass es
m ∈ N und paarweise verschiedene i1, i2, . . . , im ∈ {1, . . . , k} gibt, sodass {bi1 , . . . , bim} eine Basis von V
ist. Ist m eindeutig bestimmt?

Answer 1

Angenomen \(\{b_1,\dots,b_k\}\) ist linear abhängig.

Sei o.B.d.A \(b_k = \sum_{i=1}^{k-1}\beta_ib_i\).

Sei \(v\in V\).

Seien \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\) Skalare mit \(v = \sum_{i=1}^{k}\alpha_ib_i\).

Es ist

        \(\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}b_{i} & =\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{i}b_{i}+\alpha_{k}b_{k}\\ & =\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{i}b_{i}+\alpha_{k}\sum_{i=1}^{k-1}\beta_{i}b_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k-1}\left(\alpha_{i}+\alpha_{k}\beta_{i}\right)b_{i} \end{aligned}\)

Also ist \(\{b_1,\dots,b_{k-1}\}\) ein Erzeugendensystem von \(V\).

Comments

Danke für die Antwort, sie hilft mir sehr weiter! Und wie kann ich zeigen, dass {bi1, ... , bim} linear unabhängig ist? Das muss es doch sein, damit es eine Basis ist, oder?

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1. Setze \(i=0\) und \(B_i=\{b_1,\dots,b_k\}\).
2. Suche ein \(j\) mit \(b_j\in B_i\) so dass \(b_j\) als Linearkombination der Vektoren aus \(B_i\setminus \{b_j\}\) dargestellt werden kann.
3. Falls ein geeignetes \(j\) gefunden wurde, dann
   • Setze \(B_{i+1} = B_i\setminus \{b_j\}\)
     
   • Erhöhe \(i\) um \(1\).
   • Gehe zurück zu 2.
4. Falls kein geeignetes \(j\) gefunden wurde, dann ist \(B_i\) linear unabhängig.
   

Der Algorithmus terminiert, weil \(B_0\) endlich ist und \(\left|B_{i+1}\right| < \left|B_{i}\right|\) ist.