Basis bestimmen von einem R-Vektorraum

Question

Wir betrachten den ℝ-Vektorraum V = ℝ⁴ .Sie wissen bereits, dass die Abbildung

 f : ℝ⁴ → ℝ mit f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 10 \\ 1 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \) ℝ-linear ist.  Bestimmen Sie eine Basis von f(⟨e1, e2, e2 + e3, e3 + e4⟩).

Answer 1

U :=  f(⟨e1, e2, e2 + e3, e3 + e4⟩).
wird erzeugt von f(e1) und f(e2) und f(e2+e3) und f(e3+e4)

wegen der Linearität ist das das gleiche wie

f(e1) und f(e2) und f(e2)+f(e3) und f(e3)+f(e4).

Diese erzeugenden Vektoren in eine Matrix gesetzt gibt

1   -2    3      15
1   -1    3      11
0   -1    0      4
-1   -4   -3      9

Gauss - Algorithmus gibt 
1   -2     3      15
0    1     0       -4
und zwei Nullzeilen.

Also ist   dim(U)=2 und weil die ersten beiden

Erzeugenden lin. unabhängig sind, bilden sie

eine Basis von U.