Aloha :)
Manchmal sieht man die Lösung nicht, auch wenn man schon direkt davor steht. Geht mir auch so. Du kannst die beiden Bedingungen nach \(c\) und \(d\) umstellen:$$a+b+4d=0\implies d=-\frac{a}{4}-\frac{b}{4}\quad;\quad 3a-b+c=0\implies c=-3a+b$$
Damit können wir alle Vektoren aus \(X\) in folgender Form schreiben:
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\-3a+b\\-\frac{a}{4}-\frac{b}{4}\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\-3\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix}=\frac{a}{4}\begin{pmatrix}4\\0\\-12\\-1\end{pmatrix}+\frac{b}{4}\begin{pmatrix}0\\4\\4\\-1\end{pmatrix}$$
Die beiden Vektoren bilden eine Basis von \(X\).
