Aufgabe:
Sei \( H \leq G \). Beschreibe explizit jene Äquivalenzrelation auf \( G \), welche zur Linksbzw. Rechtsnebenklassenzerlegung führt. Zeige anschließend, dass durch \( g H \mapsto H g \) eine bijektive Abbildung von der Links- in die Rechtsnebenklassenzerlegung gegeben ist.
Problem/Ansatz:
Die Äquivalenzrelation, die zur Linksnebenklassenzerlegung führt, ist definiert durch \( a \sim_{L} b \) genau dann, wenn \( a^{-1} b \in H \) für \( a, b \in G \). Die Rechtsnebenklassenzerlegung ist dann äquivalent dazu?
Passt meine Argumentation zur Bijektivität so?
Injektivität: Angenommen, \( g_{1} H \) und \( g_{2} H \) sind zwei verschiedene Linksnebenklassen von \( G \) modulo \( H \). Dann ist zu zeigen, dass \( H g_{1} \) und \( H g_{2} \) verschiedene Rechtsnebenklassen sind. Dann gibt es folgende Abbildung \( g H \mapsto H g \). Für \( g_{1} H \) und \( g_{2} H \) in \( G \) gibt es \( h_{1}, h_{2} \in H \) mit \( g_{1} h_{1} \neq g_{2} h_{2} \) und daher \( h_{1} g_{1}^{-1} \neq h_{2} g_{2}^{-1} \) . Somit sind \( H g_{1} \) und \( H g_{2} \) verschiedene Rechtsnebenklassen.
Surjektivität: Zu zeigen ist, dass jedes \( H g \) in \( G \) als Bild einer Linksnebenklasse \( g^{\prime} H \) für ein \( g^{\prime} \in G \) unter der Abbildung \( g H \mapsto H g \) dargestellt werden kann. Sei \( g \in G \) und betrachte \( g^{-1} H g \). Nach Definition der Konjugation ist \( g^{-1} H g=\left\{g^{-1} h g\right. \) : \( h \in H\} \). Wenn \( g^{\prime}=g^{-1} \), dann ist \( g^{-1} H g=H g^{\prime} \). Somit ist jedes \( H g \) das Bild einer Linksnebenklasse unter der gegebenen Abbildung.
