Zeige, dass durch gH → Hg eine bijektive Abbildung von der Links- in die Rechtsnebenklassenzerlegung gegeben ist.

Question

Aufgabe:

Sei $H \leq G$. Beschreibe explizit jene Äquivalenzrelation auf $G$, welche zur Linksbzw. Rechtsnebenklassenzerlegung führt. Zeige anschließend, dass durch $g H \mapsto H g$ eine bijektive Abbildung von der Links- in die Rechtsnebenklassenzerlegung gegeben ist.

Problem/Ansatz:

Die Äquivalenzrelation, die zur Linksnebenklassenzerlegung führt, ist definiert durch $a \sim_{L} b$ genau dann, wenn $a^{-1} b \in H$ für $a, b \in G$. Die Rechtsnebenklassenzerlegung ist dann äquivalent dazu?

Passt meine Argumentation zur Bijektivität so?

Injektivität: Angenommen, $g_{1} H$ und $g_{2} H$ sind zwei verschiedene Linksnebenklassen von $G$ modulo $H$. Dann ist zu zeigen, dass $H g_{1}$ und $H g_{2}$ verschiedene Rechtsnebenklassen sind. Dann gibt es folgende Abbildung $g H \mapsto H g$. Für $g_{1} H$ und $g_{2} H$ in $G$ gibt es $h_{1}, h_{2} \in H$ mit $g_{1} h_{1} \neq g_{2} h_{2}$ und daher $h_{1} g_{1}^{-1} \neq h_{2} g_{2}^{-1}$ . Somit sind $H g_{1}$ und $H g_{2}$ verschiedene Rechtsnebenklassen.

Surjektivität: Zu zeigen ist, dass jedes $H g$ in $G$ als Bild einer Linksnebenklasse $g^{\prime} H$ für ein $g^{\prime} \in G$ unter der Abbildung $g H \mapsto H g$ dargestellt werden kann. Sei $g \in G$ und betrachte $g^{-1} H g$. Nach Definition der Konjugation ist $g^{-1} H g=\left\{g^{-1} h g\right.$ : $h \in H\}$. Wenn $g^{\prime}=g^{-1}$, dann ist $g^{-1} H g=H g^{\prime}$. Somit ist jedes $H g$ das Bild einer Linksnebenklasse unter der gegebenen Abbildung.

Comments

Habe ich, zwecks der Bijektion, richtig argumentiert?

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Zur Injektivität :
Du musst nachweisen, dass das hier

nicht passieren kann : Für die Elemente a bis d ging noch alles gut, aber für p und q (die heißen bei dir g₁ und g₂) knallt's : die verschiedenen Linksnebenklassen pH und qH werden auf dieselbe Rechtsnebenklasse Hp=Hq abgebildet.

Das leistet dein Beweis nicht. Natürlich gibt es die beiden von dir angeführten h1 und h2 (z.B. h1 = h2 = e). Die Ungleichheit gilt sogar für alle h1, h2 , aber was bei dir danach kommt, ist nicht schlüssig.

Die Voraussetzung pH ≠ qH bedeutet, dass es kein h gibt, so dass p = qh wäre. Falls dann aber doch Hp = Hq sein sollte, so gäbe es ein h' mit p = h'q. und dies müsste zum Widerspruch geführt werden.

Fehlen in deiner Aufgabenstellung Voraussetzungen, z.B. dass H ein Normalteiler ist ?

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@Gast hj2166: Danke für deine anschauliche Visualisierung zur Injektivität und der Korrektur zwecks der Beweisführung ☺

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Es ist ja in Wirklichkeit noch schlimmer :
Bevor man sich daran macht, Eigenschaften der Abbildung zu beweisen, sollte man erst mal die Frage klären, ob denn überhaupt eine Abbildung vorliegt, d.h. ob sie wohldefiniert ist. Die Abbildung einer Linksnebenklasse wird nämlich über Repräsentanten erklärt. Und wenn nun u und v Repräsentanten einer gewissen Linksnebenklasse sind (d.h. uH = vH), so ist zu prüfen, ob daraus dieselbe Rechtsnebenklasse resultiert, also ob dann Hu = Hv gesichert ist.
Es handelt sich um dasselbe Problem wie bei der Injektivität und ich frage deshalb nochmal : Enthält die Aufgabe zusätzliche Informationen, z.B. dass G abelsch ist ?

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@Gast hj2166: Nein - die Aufgabe enthält keine weiteren Informationen!

Sei $H \leq G$. Beschreibe explizit jene Äquivalenzrelation auf $G$, welche zur Linksbzw. Rechtsnebenklassenzerlegung führt. Zeige anschließend, dass durch $g H \mapsto H g$ eine bijektive Abbildung von der Links- in die Rechtsnebenklassenzerlegung gegeben ist.

Das ist die exakte Angabe!

Zu zeigen, dass $g H \mapsto H g$ wohldefiniert ist, wäre sicherlich noch wichtig ☺

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wäre sicherlich noch wichtig

Ist aber unmöglich.
Für die nicht-abelsche Gruppe der Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks {SA, SB, SC, D0, D120, D240} bildet H = {SA, D0} eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist.
Mit ihr ist D120•H = {SC, D120} = SC•H, aber H•D120 = {SB, D120} ≠ {SC, D240} = H•SC

(Merke : Wenn einem nach einer gewissen Zeit kein Beweis für eine Behauptung gelungen ist, dann suche man nach einem Gegenbeispiel.)

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@Gast hj2166: OK - Für mich klingt die Aufgabenstellung aber trotzdem so, als ob es dieses $g H \mapsto H g$ geben müsste!?

Aber danke für die gute Erklärung!

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@Gast hj2166: In der Angabe war tatsächlich ein Fehler (Uns wurde eine Fehlerhafte Angabe übermittelt, sodass das von dir beschriebene Resultat herauskommt - eigentlich war $g H \mapsto H g^{-1}$ gefragt)!

Aber, nochmals Danke für deine Hilfe und die gute Erklärung ☺