Volumenintegral mit Vektoren berechnen

Question

Aufgabe:

die Aufgabe sei es mit einer gegeben Dichtefunktion $$p(\vec{r}) = \frac{1}{r^2(r+3)^2}$$ die Masse einer Gaswolke mithilfe des Volumenintegrals und Kugelkoordinaten zu berechnen. Die Formel dafür lautet $$M = \int \limits_{}^{}\int \limits_{Ω}^{}\int \limits_{}^{}p(\vec{r})dV$$

Problem/Ansatz:

Generell ist mir bewusst, wie sich das Volumen berechnen lässt (die Grenzen usw.). Leider hatten wir das ganze jedoch noch nicht mit Vektoren, sodass ich nicht weiß, wie ich das ganze umformen soll.

Answer 1

Aloha :)

Die Dichte der Wolke hängt nur vom Abstand \(r\) zum Zentrum ab:$$\rho(r)=\frac{1}{r^2(r+3)^2}$$Wenn der Radius der Wolke \(R\) ist, tastet der folgende Vektor \(\vec r\) alle Punkte der Gaswolke ab:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\varphi\\r\cos\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$Mit dem Volumenelement \(dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\) können wir daher die Masse der Wolke durch folgendes Integral bestimmen:

$$M=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\rho(r)\,dV=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\frac{1}{r^2(r+3)^2}\,r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{M}=\int\limits_{r=0}^R\frac{1}{(r+3)^2}\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[-\frac{1}{r+3}\right]_0^R\cdot[\varphi]_{0}^{2\pi}\cdot[-\cos\vartheta]_0^\pi$$$$\phantom M=\left(-\frac{1}{R+3}+\frac13\right)\cdot(2\pi-0)\cdot(1-(-1))=\frac{R}{3R+9}\cdot2\pi\cdot2=\frac{4\pi\,R}{3R+9}$$

Da kosmische Gaswolken sehr riesig sind \((R\to\infty)\) könnte man die Gesamtmasse der Wolke noch nach oben abschätzen:$$M<\lim\limits_{R\to\infty}\frac{4\pi R}{3R+9}=\lim\limits_{R\to\infty}\frac{4\pi}{3+\frac9R}=\frac{4\pi}{3}$$

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Rechnung! Was ich nur noch nicht ganz verstehe ist, dass $$\vec{r}$$ nicht mehr in der Rechnung auftaucht. Oder soll dies wirklich, wie Du bereits geschrieben hast, nur verdeutlichen, dass eben mithilfe des Ortsvektors die Dichten an jedem beliebigen Punkt beschrieben wird?

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Ich habe ja den Ortsvektor \(\vec r\) in Kugelkoordinaten angegeben. Der Betrag dieses Vektors ist \(r\). Da die Dichte nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt, kommt auch nur der Betrag \(r\) im Integral vor.