Masse einer Achtelkugel - Volumenintegral

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Masse einer Achtelkugel A mit A = {(x,y,z)∈R²: x²+y²+z² <= 4, x>=0, y>=0, z>=0}

Die Dichte ist gegeben durch ρ(x,y,z) = 3*x*z wobei (x,y,z) ∈ A

Gesucht ist die Masse mit Dreifachintegral in Polardarstellung

Problem/Ansatz:

Ich habe die Grenzen von r = 2, θ = pi/2, ϕ = pi/2 aufgestellt und als Grenzen jeweils von 0 beginnend eingesetzt.

Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob ich einfach über die Dichtefunktion integrieren muss, oder ob ich diese mit der Ausgangsfunktion "verbinden" muss.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die gegenene Achtelkugel kannst du in Kugelkoordinaten wie folgt abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\,\cos\varphi\sin\vartheta\\r\,\sin\varphi\sin\vartheta\\r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\;\;;\;\;\varphi\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\;\;;\;\;\vartheta\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$$Mit dem Volumenelement \(dV=r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\) erhalten wir die Masse:

$$M=\int\limits_V\rho(\vec r)\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,3\,\underbrace{r\cos\varphi\sin\vartheta}_{=x}\,\underbrace{r\,\cos\vartheta}_{=z}\;r^2\,\sin\vartheta$$$$\phantom{M}=3\int\limits_0^2r^4\,dr\int\limits_0^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2\vartheta\,\cos\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{M}=3\cdot\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^2\cdot\left[\sin\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\left[\frac{1}{3}\sin^3\vartheta\right]_0^{\pi/2}=\left[\frac{2^5}{5}-0\right]\cdot\left[1-0\right]\cdot\left[1^3-0\right]=\frac{32}{5}$$

Answer 2

Hallo

nein die Dichtefunktion über das 3 fach Integral zu bestimmen gibt die masse, du summierst ja über ρdV=dm und das richtige dV in Kugelkoordinaten.

Gruß lul