Aufgabe a)
Um die Geschwindigkeit von \( U_{1} \) zu berechnen, betrachten wir die gegebene Positionsfunktion:
\( \vec{x}=\left[\begin{array}{c} 140 \\ 105 \\ -170 \end{array}\right]+t \cdot\left[\begin{array}{c} -60 \\ -90 \\ -30 \end{array}\right] \)
Die Geschwindigkeit ist der Vektor vor dem \( t \)-Term, also \( \left[\begin{array}{c}-60 \\ -90 \\ -30\end{array}\right] \). Daher bewegt sich \( U_{1} \) pro Minute um 60 Meter nach links, 90 Meter nach unten und 30 Meter nach unten. Die Geschwindigkeit von \( U_{1} \) beträgt also \( \sqrt{(-60)^{2}+(-90)^{2}+(-30)^{2}} \) Meter pro Minute.
Der Vektor \( \left[\begin{array}{c}-60 \\ -90 \\ -30\end{array}\right] \) zeigt nach links, unten und nach unten. Da der Vektor nach unten zeigt, bewegt sich \( U_{1} \) von der Meeresoberfläche weg. Der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der Meeresoberfläche kann mit dem Skalarprodukt berechnet werden:
Hier ist \( \cos \theta \) der Kosinus des Winkels zwischen dem Bewegungsvektor von \( U_{1} \) und der Meeresoberfläche. Der Winkel \( \theta \) ist dann \( \cos ^{-1}(\cos \theta) \).
Aufgabe b)
Die Geschwindigkeit von \( U_{2} \) kann aus den gegebenen Informationen berechnet werden. Die Verschiebung von \( A \) nach \( B \) ist gegeben durch den Vektor:
\( \left[\begin{array}{c}-202-68 \\ -405-135 \\ -248-(-68)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-270 \\ -270 \\ -180\end{array}\right] \)
Da dies in 3 Minuten passiert, beträgt die Geschwindigkeit \( \frac{1}{3} \) dieser Verschiebung.
Die Geschwindigkeit von \( U_{2} \) ist also \( \frac{1}{3}\left[\begin{array}{l}-270 \\ -270 \\ -180\end{array}\right] \) Meter pro Minute.
Die Begründung für die Positionsfunktion von \( U_{2} \) ist, dass \( U_{2} \) in \( t \) Minuten von Punkt \( A \) zu Punkt \( B \) geht. Daher ist die Positionsfunktion:
\( \bar{x}=\left[\begin{array}{c} 68 \\ 135 \\ -68 \end{array}\right]+t \cdot \frac{1}{3}\left[\begin{array}{c} -270 \\ -270 \\ -180 \end{array}\right] \)
Einfach erklärt:
Die Geschwindigkeit eines Objekts ist definiert als die Änderung seiner Position pro Zeiteinheit. In diesem Fall möchten wir die Geschwindigkeit von \( U_{2} \) berechnen.
1. Zuerst berechnen wir die Verschiebung (Änderung der Position) von Punkt \( A \) zu Punkt \( B \). Das ist der Vektor \( \left[\begin{array}{l}-270 \\ -270 \\ -180\end{array}\right] \).
2. Da diese Verschiebung in 3 Minuten erfolgt ist, teilen wir den Verschiebungsvektor durch 3, um die durchschnittliche Geschwindigkeit pro Minute zu erhalten.
Das ergibt \( \frac{1}{3}\left[\begin{array}{l}-270 \\ -270 \\ -180\end{array}\right] \).
Das bedeutet, dass \( U_{2} \) im Durchschnitt pro Minute um 90 Meter nach links, 90 Meter nach unten und 60 Meter nach unten geht.
Aufgabe c)
Um den Zeitpunkt zu finden, an dem sich beide U-Boote in gleicher Tiefe befinden, setzen Sie die \( z \)-Koordinaten der beiden Positionsfunktionen gleich und lösen Sie nach \( t \) auf:
\( -170+t \cdot(-30)=-68+t \cdot(-180) \)
Lösen Sie diese Gleichung für \( t \) und setzen Sie den gefundenen Wert in eine der Positionsfunktionen ein, um die genaue Position zu berechnen.
Aufgabe d)
Um den Höhenunterschied der beiden Routen an der Stelle des Schnittpunkts zu berechnen, setzen wir die \( z \)-Koordinaten der beiden Positionsfunktionen gleich und lösen nach \( t \) auf.
Für \( U_{1} \) haben wir die Positionsfunktion:
\( z_{U_{1}}(t)=-170-30 t \)
Für \( U_{2} \) haben wir die Positionsfunktion:
\( z_{U_{2}}(t)=-68-60 t \)
Setzen Sie die beiden Gleichungen gleich:
\( -170-30 t=-68-60 t \)
Lösen Sie diese Gleichung nach \( t \). Wenn Sie den Wert für \( t \) haben, setzen Sie ihn in eine der beiden Positionsfunktionen ein, um den zugehörigen \( z \)-Wert zu berechnen. Der Unterschied zwischen den \( z \)-Werten gibt den Höhenunterschied der beiden Routen an dieser Stelle an.
