Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge (z_{n})_{n ∈ ℕ}

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge \( \left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch
\( z_{n}:=\frac{(4 i)^{n}+7 n}{\left(2^{n}+4 n\right)^{2}} \)

Geben sie außerdem Teilfolgen an, die gegen diese Punkte konvergieren.

Häufungspunkte berechnen:

Problem/Ansatz: guten Morgen zusammen und zwar bin ich etwas verwirrt bei dieser Aufgabe wie ich hier den häufungspunkt und ich denke das was ich bisher gemacht habe ist komplett falsch könnte jemand mir erklären wie man da vor geht ?

Comments

Kann mir einer bitte behilflich sein

Answer 1

\( \frac{(4 i)^{n}+7 n}{\left(2^{n}+4 n\right)^{2}} =  \frac{4^n \cdot i^n +7 n}{4^{n}+8 n\cdot 2^n + 16n^2 } =  \frac{ i^n +\frac{7 n}{4^n}}{1++\frac{8 n}{2^n} + \frac{16n^2}{4^n}}   \)

Für große n sind die Brüche im Zähler und Nenner ungefähr 0, also bleiben als

Häufungspunkte 1  , -1   , i , -i  durch die Potenzen von i.

z.B. die Teilfolge mit allen Indizes k, die durch 4 teilbar sind, geht gegen 1.

Comments

Ah okay vielen Dank für die schnelle Hilfe, also müsste ich 4K in z(n) einsetze und das konvergiert dann gegen 1?

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Ja genau; i^4k ist ja immer 1.

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Ah okay dankeschön jetzt habe ich es verstanden dann wäre noch eine Teilfolge 4K+1 die gegen i immer geht oder?