Häufungspunkte der komplexen Folge bestimmen: z_{n} = ( (1 + √3 * i)/2 )^n

Question

Häufungspunkte der folgenden komplexen Folge bestimmen:

$$ { z }_{ n } = (\frac { 1 + \sqrt { 3} * i }{ 2 })^n$$

Wenn man das machen möchte kommt man ja auf:

$$ { z }_{ n } = { e }^{ i*n*\frac { π }{ 3 } } $$

Meine Frage ist wie kommt man auf diese Form? gibt es da eine Definition oder eine Formel?

Und wie geht es ab hier dann weiter?

Answer 1

wenn du ein z=a+bi hast.Dann kannst du immer erst mal den Betrag bestimmen √(a² +b²)ist bei dir gleich 1.Dann ist es ganz einfach, dann kannst du a+bi immer in der

Form cos(x) + i*sin(x) =  e ^ix   schreiben und das x ist

dann immer  arctan(b/a) (wird klar, wenn man das mal zeichnet.)

Hier also arctan (√3) = pi/3  .

also ist dann z = e ^i*(pi/3)  und dann noch potenzieren